# Matematyka — zadanie 15 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/15 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona) - rok: 2015 - poziom: rozszerzona - typ: open - działy: Równania i nierówności, wielomiany ## Treść Zadanie 15. (0-6) Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu c bx ax x x W 2 3 ) ( jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a , b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki. MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 15. Maks. liczba pkt 6 Uzyskana liczba pkt MMA_1R Dany jest wielomian W(x) = x^3 - 3mx^2 + (3m^2-1)x - 9m^2 + 20m + 4. Wykres tego wielomianu, po przesunięciu o wektor u = [-3,0], przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: wszystkie trzy przypadki Zadanie jest otwarte - należy wyznaczyć \(a\), \(b\), \(c\) dla każdej możliwej konfiguracji pierwiastków. ## Sposób 1 - warunek sumy współczynników + wzory Viète'a **Krok 1: Interpretacja warunku sumy współczynników** Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu \(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) to: \[1 + a + b + c = W(1) = 0\] Zatem \(x = 1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W\). **Krok 2: Oznaczenie pierwiastków arytmetycznych** Ponieważ pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(3\), możemy je zapisać jako: \[r, \quad r+3, \quad r+6\] dla pewnej liczby rzeczywistej \(r\). Jeden z tych pierwiastków musi być równy \(1\). Rozważamy trzy przypadki. **Przypadek I: \(r = 1\) (pierwszym pierwiastkiem jest 1)** Pierwiastki: \(1,\ 4,\ 7\) Ze wzorów Viète'a dla \(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\): \[x_1 + x_2 + x_3 = -a \implies 1 + 4 + 7 = 12 = -a \implies \boxed{a = -12}\] \[x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = b \implies 1\cdot4 + 1\cdot7 + 4\cdot7 = 4 + 7 + 28 = 39 \implies \boxed{b = 39}\] \[x_1 x_2 x_3 = -c \implies 1\cdot4\cdot7 = 28 = -c \implies \boxed{c = -28}\] Sprawdzenie: \(W(1) = 1 - 12 + 39 - 28 = 0\) ✓ **Przypadek II: \(r + 3 = 1\), czyli \(r = -2\) (środkowym pierwiastkiem jest 1)** Pierwiastki: \(-2,\ 1,\ 4\) \[(-2) + 1 + 4 = 3 = -a \implies \boxed{a = -3}\] \[(-2)\cdot1 + (-2)\cdot4 + 1\cdot4 = -2 - 8 + 4 = -6 \implies \boxed{b = -6}\] \[(-2)\cdot1\cdot4 = -8 = -c \implies \boxed{c = 8}\] Sprawdzenie: \(W(1) = 1 - 3 - 6 + 8 = 0\) ✓ **Przypadek III: \(r + 6 = 1\), czyli \(r = -5\) (ostatnim pierwiastkiem jest 1)** Pierwiastki: \(-5,\ -2,\ 1\) \[(-5) + (-2) + 1 = -6 = -a \implies \boxed{a = 6}\] \[(-5)\cdot(-2) + (-5)\cdot1 + (-2)\cdot1 = 10 - 5 - 2 = 3 \implies \boxed{b = 3}\] \[(-5)\cdot(-2)\cdot1 = 10 = -c \implies \boxed{c = -10}\] Sprawdzenie: \(W(1) = 1 + 6 + 3 - 10 = 0\) ✓ ## Sposób 2 - postać iloczynowa wielomianu Ponieważ wiemy, że \(x = 1\) jest pierwiastkiem i pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny \(r,\ r+3,\ r+6\), bezpośrednio zapisujemy wielomian: \[W(x) = (x - r)(x - (r+3))(x - (r+6))\] Warunek \(W(1) = 0\): \[(1 - r)(1 - r - 3)(1 - r - 6) = 0\] \[(1 - r)(-2 - r)(-5 - r) = 0\] Stąd: \[1 - r = 0 \implies r = 1, \quad\text{lub}\quad -2 - r = 0 \implies r = -2, \quad\text{lub}\quad -5 - r = 0 \implies r = -5\] Każdy przypadek daje inną trójkę pierwiastków - dokładnie jak w Sposobie 1. Rozkładamy wielomian: **\(r = 1\):** \(W(x) = (x-1)(x-4)(x-7) = x^3 - 12x^2 + 39x - 28\) **\(r = -2\):** \(W(x) = (x+2)(x-1)(x-4) = x^3 - 3x^2 - 6x + 8\) **\(r = -5\):** \(W(x) = (x+5)(x+2)(x-1) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10\) ## Wzory z karty CKE **Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu arytmetycznego: \[a_n = a_1 + (n-1)r\] Użyliśmy do oznaczenia pierwiastków jako \(r,\ r+3,\ r+6\) (różnica \(d = 3\)). **Dział 7 (Funkcja kwadratowa / wielomiany, s. 7-9)** - wzory Viète'a uogólnione na wielomian stopnia 3 z \(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\): \[x_1 + x_2 + x_3 = -a, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = b, \quad x_1 x_2 x_3 = -c\] Karta CKE zawiera wzory Viète'a dla trójmianu kwadratowego (s. 8) - analogicznie stosujemy je dla stopnia 3. ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Warunek "suma czterech współczynników = 0" to dokładnie \(W(1) = 0\). Uczniowie często mylnie interpretują go jako sumę \(a + b + c = 0\) (zapominając o współczynniku wiodącym \(1\)). > ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi "rozważ wszystkie możliwe przypadki" - trzeba sprawdzić, który z trzech wyrazów ciągu równa się \(1\). Napisanie tylko jednego przypadku daje niepełne rozwiązanie i utratę punktów. > ⚠️ **Uwaga:** Przy znakach w wzorach Viète'a łatwo pomylić: iloczyn pierwiastków \(= -c\) (nie \(+c\)), suma \(= -a\) (nie \(+a\)). Zawsze warto zweryfikować, wstawiając \(W(1)\). **Wyniki:** Dwa przypadki: - \(a=-3, b=-9, c=11\) (dla pierwiastków \(-2,1,4\)) - Dla pierwiastków \(x_0-3, x_0, x_0+3\) dających sumę = 0 w \(W(1)=0\), analizujemy wszystkie przypadki. ### Sposób 1 - Wzory Viète'a dla wielomianu 3 stopnia Oznaczmy pierwiastki: \(x_0-3, x_0, x_0+3\) (ciąg arytmetyczny z różnicą 3). **Wzory Viète'a** dla \(W(x)=x^3+ax^2+bx+c\): \[-a=(x_0-3)+x_0+(x_0+3)=3x_0 \Rightarrow a=-3x_0\] \[b=(x_0-3)x_0+(x_0-3)(x_0+3)+x_0(x_0+3)=x_0^2-3x_0+x_0^2-9+x_0^2+3x_0=3x_0^2-9\] \[-c=(x_0-3)x_0(x_0+3)=x_0(x_0^2-9)=x_0^3-9x_0 \Rightarrow c=-x_0^3+9x_0\] **Warunek sumy współczynników:** \(W(1)=1+a+b+c=0\). \[1-3x_0+3x_0^2-9-x_0^3+9x_0=0\] \[-x_0^3+3x_0^2+6x_0-8=0\] \[x_0^3-3x_0^2-6x_0+8=0\] Sprawdzamy pierwiastki wymierne (dzielniki 8): \(x_0=1: 1-3-6+8=0\). Tak! \(x_0=1\) jest pierwiastkiem. Dzielimy: \(x_0^3-3x_0^2-6x_0+8=(x_0-1)(x_0^2-2x_0-8)=(x_0-1)(x_0-4)(x_0+2)\). **Pierwiastki:** \(x_0 \in \{1, 4, -2\}\). **Przypadek \(x_0=1\):** pierwiastki \(-2, 1, 4\); \(a=-3, b=3-9=-6, c=-1+9=8\). Sprawdzenie: \(1-3-6+8=0\) ✓. **Przypadek \(x_0=4\):** pierwiastki \(1, 4, 7\); \(a=-12, b=48-9=39, c=-64+36=-28\). Sprawdzenie: \(1-12+39-28=0\) ✓. **Przypadek \(x_0=-2\):** pierwiastki \(-5, -2, 1\); \(a=6, b=12-9=3, c=8-18=-10\). Sprawdzenie: \(1+6+3-10=0\) ✓. ### Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie \(W(1)=0\) \(W(1)=0\) oznacza, że \(x=1\) jest pierwiastkiem wielomianu. Zatem jeden z trzech pierwiastków to \(1\). Jeśli pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny z różnicą 3, to \(1\) może być pierwszym, środkowym lub ostatnim. Stąd trzy przypadki: \((1,4,7), (-2,1,4), (-5,-2,1)\). Reszta analogicznie jak w sposobie 1. ### Uwagi o punktacji - 1-2 pkt: zastosowanie wzorów Viète'a lub rozpoznanie, że \(W(1)=0\). - 3 pkt: wyznaczenie pierwiastka \(x_0\). - 4-5 pkt: wyznaczenie wszystkich trzech przypadków współczynników. - 6 pkt: kompletne rozwiązanie z weryfikacją. **Trik/Klucz:** Gdy suma współczynników wielomianu \(=0\), to \(x=1\) jest pierwiastkiem. Użyj tego jako głównego spostrzeżenia. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1: Użycie wzorów Viète'a i informacji o arytmetycznym ciągu pierwiastków. Wielomian W(x) = x³ + ax² + bx + c ma pierwiastki p₁, p₂, p₃. Z treści zadania wiemy, że p₁, p₂, p₃ tworzą arytmetyczny ciąg o różnicy r = 3. Zatem p₂ = p₁ + r, p₃ = p₁ + 2r. Wzory Viète'a dla wielomianu stopnia 3 to: * p₁ + p₂ + p₃ = -a * p₁p₂ + p₁p₃ + p₂p₃ = b * p₁p₂p₃ = -c Ponieważ p₂ = p₁ + r i p₃ = p₁ + 2r, możemy zapisać: p₁ + (p₁ + r) + (p₁ + 2r) = 3p₁ + 3r = -a p₁*(p₁ + r) + p₁*(p₁ + 2r) + (p₁ + r)(p₁ + 2r) = b p₁*(p₁ + r)(p₁ + 2r) = -c Z treści zadania wiemy, że suma wszystkich czterech współczynników W(x) jest równa 0, czyli W(1) = 1 + a + b + c = 0. Ponieważ p₁, p₂, p₃ są pierwiastkami W(x), to W(x) = (x - p₁)(x - p₂)(x - p₃). W(1) = (1 - p₁)(1 - p₂)(1 - p₃) = 0. Zatem jeden z pierwiastków musi być równy 1. Załóżmy, że p₁ = 1. Wtedy: 3p₁ + 3r = 3(1) + 3r = -a => 3 + 3r = -a p₁*(p₁ + r) + p₁*(p₁ + 2r) + (p₁ + r)(p₁ + 2r) = b 1*(1+r) + 1*(1+2r) + (1+r)(1+2r) = b 1 + r + 1 + 2r + 1 + 2r + r + 2r² = b 3 + 6r + 2r² = b p₁p₂p₃ = -c 1*(1+r)(1+2r) = -c (1+r)(1+2r) = -c 📖 Karta wzorów: Wzory Viète'a, strona 7 ### Sposób 2: Wykorzystanie informacji o sumie współczynników i arytmetycznym ciągu pierwiastków. Suma współczynników W(x) = 1 + a + b + c = 0. Zatem c = -(1 + a + b). Ponieważ p₁, p₂, p₃ tworzą arytmetyczny ciąg o różnicy r, to pierwiastki są równe: p₁ = x, p₂ = x+r, p₃ = x+2r. Wtedy W(x) = (x - x)(x - (x+r))(x - (x+2r)) = 0. To nie jest poprawny wielomian. Musimy użyć wzorów Viète'a. Wzory Viète'a są: p₁ + p₂ + p₃ = -a p₁p₂ + p₁p₃ + p₂p₃ = b p₁p₂p₃ = -c W naszym przypadku: x + (x+r) + (x+2r) = 3x + 3r = -a x(x+r) + x(x+2r) + (x+r)(x+2r) = x² + rx + x² + 2rx + x² + 3rx + 2r² = 3x² + 6rx + 2r² = b x(x+r)(x+2r) = x(x² + 3rx + 2r²) = x³ + 3rx² + 2r²x = -c Ponieważ W(1) = 0, to 1 + a + b + c = 0. Podstawiamy wartości z wzorów Viète'a: 1 + (-3x - 3r) + (3x² + 6rx + 2r²) + (-x³ - 3rx² - 2r²x) = 0 -x³ + (3x² - 3x² - 2r²)x + (-3x - 3r + 6rx + 2r²) + 1 = 0 -x³ + (-2r² - 3x + 6rx) + 1 = 0 Ponieważ W(1) = 0, to 1 + a + b + c = 0. Zatem 1 + (-3x - 3r) + (3x² + 6rx + 2r²) + (-x³ - 3rx² - 2r²x) = 0. Rozwiązując to równanie, otrzymujemy, że x = -1 jest pierwiastkiem. Wtedy p₁ = -1. Wtedy a = -3(-1) - 3r = 3 - 3r b = 3(-1)² + 6(-1)r + 2r² = 3 - 6r + 2r² c = -(-1)(-1+r)(-1+2r) = - (1+r)(1+2r) = -(1+3r+2r²) 📖 Karta wzorów: Wzory Viète'a, strona 7 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? Opcje B, C i D są nieprawidłowe, ponieważ nie wykorzystują informacji o arytmetycznym ciągu pierwiastków ani wzorów Viète'a. Nie można po prostu przypisać wartości współczynników bez użycia tych narzędzi. Wzory Viète'a są kluczowe do rozwiązania tego typu zadania. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/15) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152%2Fzad%2F15) ## Podobne zadania - [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie 𝑥2 -(3𝑚+ 1) ⋅𝑥+ 2𝑚2 + 𝑚+ 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 , 𝑥2 spełn - [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/14) — Zadanie 14. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ( )( ) 2 3 1 2 1 0 x mx m m ma dwa różne rozwiązania 1x , 2x spełniające warunki: - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (6 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ( ) 2 2 1 0 m m x x ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 1x , 2x takie, że 1 2 1 - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2013-maj-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (6 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie   2 2 2 1 0 x m x m m      ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 1x , 2x s _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_