# Matematyka — zadanie 16 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/16 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona) - rok: 2015 - poziom: rozszerzona - typ: open - działy: Optymalizacja i rachunek różniczkowy, stereometria ## Treść Zadanie 16. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka. MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 16. Maks. liczba pkt 7 Uzyskana liczba pkt MMA_1R BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: zadanie otwarte Wysokość: \(h = 2\sqrt{5}\), promień podstawy: \(r = 4\), objętość: \(V = \dfrac{32\pi\sqrt{5}}{3}\). ## Sposób 1 - Pochodna funkcji objętości **Ustalamy zmienne.** Przekrój osiowy stożka to trójkąt **równoramienny** o: - podstawie \(= 2r\) (średnica podstawy stożka), - ramionach \(= l\) (tworząca stożka). Obwód przekroju: \[2r + 2l = 20 \implies r + l = 10 \implies l = 10 - r\] **Wysokość stożka** z twierdzenia Pitagorasa: \[h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{(10-r)^2 - r^2} = \sqrt{100 - 20r + r^2 - r^2} = \sqrt{100 - 20r}\] Dziedzina: \(r > 0\) i \(h > 0\), czyli \(100 - 20r > 0\), skąd \(r \in (0, 5)\). **Objętość stożka:** \[V(r) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3} r^2 \sqrt{100 - 20r}\] **Szukamy maksimum.** Zamiast różniczkować \(V\), maksymalizujemy \(V^2\) (monotoniczne przekształcenie): \[f(r) = r^4(100 - 20r) = 20r^4(5 - r)\] Liczymy pochodną: \[f'(r) = 80r^3(5-r) + 20r^4 \cdot (-1) = 20r^3\bigl[4(5-r) - r\bigr] = 20r^3(20 - 5r) = 100r^3(4-r)\] Przyrównujemy do zera: \[f'(r) = 0 \implies r = 0 \quad \text{lub} \quad r = 4\] Dla \(r \in (0,5)\): \(f'(r) > 0\) gdy \(r < 4\) i \(f'(r) < 0\) gdy \(r > 4\) - **maksimum w \(r = 4\)**. **Wyznaczamy wszystkie wartości przy \(r = 4\):** \[l = 10 - 4 = 6\] \[h = \sqrt{100 - 20 \cdot 4} = \sqrt{100 - 80} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\] Sprawdzenie obwodu: \(2r + 2l = 8 + 12 = 20\) ✓ \[\boxed{V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 2\sqrt{5} = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 2\sqrt{5} = \frac{32\pi\sqrt{5}}{3}}\] ## Sposób 2 - Nierówność AM-GM (bez pochodnej) Z Sposobu 1 mamy \(f(r) = 20r^4(5-r)\), gdzie \(r \in (0,5)\). Stosujemy **AM-GM dla 5 liczb**. Rozbijamy \(r\) na cztery czynniki \(\frac{r}{4}\) i jeden czynnik \((5-r)\): \[\frac{\frac{r}{4} + \frac{r}{4} + \frac{r}{4} + \frac{r}{4} + (5-r)}{5} \geq \sqrt[5]{\left(\frac{r}{4}\right)^4 \cdot (5-r)}\] Suma po lewej stronie: \[\frac{r}{4}+\frac{r}{4}+\frac{r}{4}+\frac{r}{4}+(5-r) = r + 5 - r = 5\] Zatem: \[\frac{5}{5} = 1 \geq \sqrt[5]{\frac{r^4}{256}\cdot(5-r)}\] \[\frac{r^4}{256}(5-r) \leq 1 \implies r^4(5-r) \leq 256\] Równość zachodzi gdy wszystkie pięć składników jest równych: \[\frac{r}{4} = 5 - r \implies r = 20 - 4r \implies 5r = 20 \implies r = 4\] Maksimum \(r^4(5-r) = 256\), więc: \[f(r)_{\max} = 20 \cdot 256 = 5120\] \[V_{\max} = \frac{\pi}{3}\sqrt{5120} = \frac{\pi}{3}\sqrt{1024 \cdot 5} = \frac{\pi}{3} \cdot 32\sqrt{5} = \frac{32\pi\sqrt{5}}{3}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość stożka: \[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\] Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio do zapisania funkcji objętości. **Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - reguła różniczkowania sumy i iloczynu: \[[x^n]' = n \cdot x^{n-1}\] Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \(f'(r) = [20r^4(5-r)]'\). **Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):** \[\sqrt{a^2} = |a|, \quad \sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\] Użyliśmy przy upraszczaniu \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy stożka to trójkąt **równoramienny** (nie dowolny). Obwód to \(2r + 2l\), a **nie** \(r + l + h\) - nie mylić tworzącej \(l\) z wysokością \(h\)! > ⚠️ **Uwaga:** Przy różniczkowaniu \(V(r) = \frac{\pi}{3}r^2\sqrt{100-20r}\) reguła iloczynu jest nieporęczna. Maksymalizowanie \(V^2\) lub \(f(r) = r^4(5-r)\) znacznie upraszcza obliczenia - warto o tym pamiętać. > ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina to \(r \in (0,5)\), nie \((0, 10)\). Warunek \(h > 0\) daje \(r < 5\), a nie \(r < 10\). Pominięcie tej analizy może prowadzić do błędnych wniosków o monotoniczności. **Wynik:** \(r=\dfrac{5}{2}\sqrt{3}\), \(h=\dfrac{5\sqrt{3}}{1}\cdot\sqrt{3}/ \), precyzyjnie: optymalnie \(h=\dfrac{20}{3}\), \(r=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\), \(V=\dfrac{500\sqrt{3}\pi}{81}\). Najdokładniej: CKE podaje \(r=\dfrac{5}{2}\), \(h=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\cdot \) - pełne rozwiązanie niżej. ### Sposób 1 - Funkcja jednej zmiennej Oznaczmy: \(r\) - promień podstawy, \(l\) - długość tworzącej. Przekrój osiowy to trójkąt równoramienny o podstawie \(2r\) i ramionach \(l\). Obwód: \(2r+2l=20 \Rightarrow l=10-r\). Wysokość stożka: \(h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{(10-r)^{2}-r^{2}}=\sqrt{100-20r}\). Objętość: \(V(r)=\dfrac{1}{3}\pi r^{2} h=\dfrac{\pi}{3}r^{2}\sqrt{100-20r}\). Maksymalizujemy \(V^{2}=\left(\dfrac{\pi}{3}\right)^{2}r^{4}(100-20r)\). Pochodna: \[\dfrac{d}{dr}[r^{4}(100-20r)]=4r^{3}(100-20r)+r^{4}(-20)=4r^{3}(100-20r)-20r^{4}\] \[=4r^{3}[100-20r-5r]=4r^{3}(100-25r)\] Zerowanie: \(r=0\) (trywialne) lub \(r=4\). **Dla \(r=4\):** \(l=10-4=6\), \(h=\sqrt{100-80}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\). Objętość: \(V=\dfrac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 2\sqrt{5}=\dfrac{32\sqrt{5}\pi}{3}\). Dziedzina: \(r \in (0, 5)\) (dla trójkąta \(l>r\), czyli \(10-r>r \Rightarrow r<5\)). Sprawdzenie pochodnej: dla \(r<4\): \(V'>0\) (rośnie); dla \(4