# Matematyka — zadanie 4 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/4 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona) - rok: 2015 - poziom: rozszerzona - typ: closed - działy: Trygonometria, równania i nierówności ## Treść Zadanie 4. (0-1) Równanie 2sin 3cos 6 x x w przedziale ( ) 0,2π A. nie ma rozwiązań rzeczywistych. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste. Rozwiąż równanie sin^2 2x - 4 * sin^2 x + 1 = 0 w przedziale <0, 2pi>. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. ## Sposób 1 - ograniczenie wartości lewej strony **Kluczowa obserwacja:** lewa strona \(2\sin x + 3\cos x\) to funkcja postaci \(a\sin x + b\cos x\), która ma ograniczony zakres wartości. **Krok 1 - wyznaczamy maksymalną wartość wyrażenia \(2\sin x + 3\cos x\).** Dla funkcji postaci \(a\sin x + b\cos x\) zachodzi: \[-({\sqrt{a^2 + b^2}}) \leq a\sin x + b\cos x \leq \sqrt{a^2 + b^2}\] To wynika z tego, że \(a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x + \varphi)\) dla pewnego przesunięcia \(\varphi\), a sinus przyjmuje wartości co najwyżej \(1\). **Krok 2 - obliczamy \(\sqrt{a^2 + b^2}\) dla \(a = 2\), \(b = 3\):** \[\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\] **Krok 3 - porównujemy z prawą stroną:** \[\sqrt{13} \approx 3{,}606 < 6\] Skoro maksymalna możliwa wartość lewej strony wynosi \(\sqrt{13} \approx 3{,}61\), a prawa strona równa się \(6\), to: \[2\sin x + 3\cos x \leq \sqrt{13} < 6 \quad \text{dla każdego } x \in \mathbb{R}\] **Wniosek:** lewa strona nigdy nie osiągnie wartości \(6\), więc równanie **nie ma rozwiązań** - ani w przedziale \((0, 2\pi)\), ani w ogóle. ## Sposób 2 - nierówność przez własności funkcji sinusa i cosinusa Zamiast korzystać ze wzoru na amplitudę, możemy posłużyć się bezpośrednim ograniczeniem. **Krok 1 - ograniczamy każdy składnik z osobna:** \[-1 \leq \sin x \leq 1 \implies -2 \leq 2\sin x \leq 2\] \[-1 \leq \cos x \leq 1 \implies -3 \leq 3\cos x \leq 3\] **Krok 2 - dodajemy nierówności stronami:** \[-2 + (-3) \leq 2\sin x + 3\cos x \leq 2 + 3\] \[-5 \leq 2\sin x + 3\cos x \leq 5\] **Krok 3 - porównujemy z prawą stroną równania:** \[2\sin x + 3\cos x \leq 5 < 6\] Prawa strona \(6\) leży **poza zakresem** lewej strony. **Wniosek:** równanie nie ma żadnych rozwiązań rzeczywistych. ∎ > **Uwaga:** Sposób 1 daje dokładniejsze ograniczenie (\(\sqrt{13} \approx 3{,}61\)), a Sposób 2 daje luźniejsze (\(5\)), ale oba wystarczają, bo \(\sqrt{13} < 5 < 6\). ## Wzory z karty CKE **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - własność funkcji sinus i cosinus: Z definicji (punkt na okręgu jednostkowym): \[-1 \leq \sin x \leq 1, \quad -1 \leq \cos x \leq 1 \quad \text{dla każdego } x\] Użyliśmy tego w Sposobie 2 do oszacowania zakresu lewej strony. **Dział 9 - jedynka trygonometryczna:** \[\sin^2 x + \cos^2 x = 1\] Stoi za tym fakt, że \(a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\) - to przekształcenie korzysta z jedynki trygonometrycznej przy wyprowadzeniu. Użyte w Sposobie 1. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | **B** | Uczeń "rozwiązuje" równanie jakby sinusy i cosinusy mogły przyjmować dowolne wartości - np. przez podstawienie \(\sin x = t\) bez sprawdzenia, czy \(t \in [-1,1]\). Dostaje jedno "rozwiązanie", które jest poza dziedziną. | | **C** | Uczeń liczy deltę z jakiegoś "spreparowanego" równania kwadratowego (np. po zamianie \(\cos x = \pm\sqrt{1-\sin^2 x}\)) i dostaje dwa wyniki, nie sprawdzając czy należą do \([-1,1]\). | | **D** | Błędne utożsamienie z równaniem, które rzeczywiście ma nieskończenie wiele rozwiązań - np. \(2\sin x + 3\cos x = 1\). | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie sprawdzenia zakresu. Uczeń algebraicznie "wyznacza" \(\sin x = \text{coś} > 1\) i bezkrytycznie zapisuje odpowiedź B lub C. **Zawsze po wyznaczeniu \(\sin x\) lub \(\cos x\) sprawdź, czy wynik mieści się w \([-1, 1]\)!** > ⚠️ **Uwaga:** Warto pamiętać, że \(\sqrt{a^2+b^2}\) to **dokładna** górna granica wyrażenia \(a\sin x + b\cos x\). Szacowanie przez \(|a| + |b|\) jest szybsze, ale mniej precyzyjne - tu oba wystarczają, bo \(5 < 6\) i \(\sqrt{13} < 6\). > ⚠️ **Uwaga:** Przedział \((0, 2\pi)\) to tzw. "wabik" - sugeruje, że może być 1 lub 2 rozwiązania. Nie daj się złapać: gdy równanie nie ma rozwiązań w ogóle (\(x \in \mathbb{R}\)), to tym bardziej nie ma ich w żadnym przedziale. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Ocena maksimum lewej strony Dla dowolnego \(x\) mamy \(|\sin x| \leq 1\) oraz \(|\cos x| \leq 1\). Zatem: \[2\sin x + 3\cos x \leq 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5 < 6\] Skoro lewa strona jest zawsze \(\leq 5\), a prawa równa \(6\), równanie nie ma rozwiązań. ### Sposób 2 - Sprowadzenie do \(R\sin(x+\varphi)\) Korzystamy z tożsamości \(a\sin x + b\cos x = R\sin(x+\varphi)\), gdzie \(R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\). Dla \(a=2, b=3\): \(R=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \approx 3{,}606\). Zatem \(2\sin x + 3\cos x = \sqrt{13} \sin(x+\varphi)\), a maksymalna wartość tej funkcji to \(\sqrt{13} \approx 3{,}6 < 6\). Równanie \(\sqrt{13}\sin(x+\varphi)=6\) nie ma rozwiązań, bo \(|\sin(x+\varphi)| \leq 1\), a \(\frac{6}{\sqrt{13}} > 1\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B, C, D**: Wszystkie zakładają istnienie rozwiązań, co jest niemożliwe, bo lewa strona równania nie przekracza \(\sqrt{13} \approx 3{,}6\). **Trik/Klucz:** Przy równaniu \(a\sin x + b\cos x = c\) zawsze sprawdź, czy \(|c| \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}\); jeśli nie - brak rozwiązań. **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1: Metoda trygonometryczna - zamiana zmiennej 1. **Zauważenie:** Równanie ma postać liniową z funkcjami trygonometrycznymi. Chcemy wyrazić jedną funkcję trygonometryczną przez drugą. 2. **Przekształcenie:** Z równania 2sin x + 3cos x = 6 wyznaczmy cos x: cos x = (6 - 2sin x) / 3 3. **Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa:** Skwadrujemy lewą stronę, aby wykorzystać twierdzenie Pitagorasa (sin²x + cos²x = 1): (6 - 2sin x) / 3)² = cos²x = (6 - 2sin x)² / 9 36 - 24sin x + 4sin²x = (36 - 24sin x + 4sin²x) / 9 4. **Uproszczenie i rozwiązanie równania:** Pomnóżmy obie strony przez 9: 324 - 216sin x + 36sin²x = 36 - 24sin x + 4sin²x 36sin²x - 192sin x + 288 = 0 9sin²x - 48sin x + 72 = 0 5. **Rozwiązanie równania kwadratowego:** Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem sin x. Obliczyć deltę: Δ = (-48)² - 4 * 9 * 72 = 2304 - 2592 = -288 Ponieważ Δ < 0, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem równanie pierwotne nie ma rozwiązań rzeczywistych. 📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg: sin²α+cos²α=1) ### Sposób 2: Metoda wyrażenia sin x i cos x w postaci liniowej 1. **Wyznaczenie sin x:** Z równania 2sin x + 3cos x = 6 wyznaczmy sin x: sin x = (6 - 3cos x) / 2 2. **Zastosowanie Twierdzenia Pitagorasa:** Skwadrujemy lewą stronę, aby wykorzystać twierdzenie Pitagorasa (sin²x + cos²x = 1): ((6 - 3cos x) / 2)² + cos²x = 1 (36 - 36cos x + 9cos²x) / 4 + cos²x = 1 3. **Uproszczenie i rozwiązanie równania:** Pomnóżmy obie strony przez 4: 36 - 36cos x + 9cos²x + 4cos²x = 4 13cos²x - 36cos x + 32 = 0 4. **Rozwiązanie równania kwadratowego:** Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem cos x. Obliczyć deltę: Δ = (-36)² - 4 * 13 * 32 = 1296 - 1664 = -368 Ponieważ Δ < 0, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zatem równanie pierwotne nie ma rozwiązań rzeczywistych. 📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s)) ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. nie ma rozwiązań rzeczywistych:** To jest poprawne, ponieważ obliczenia prowadzą do równania kwadratowego z deltą ujemną, co oznacza brak rozwiązań rzeczywistych. * **C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste:** To jest błędne, ponieważ równanie kwadratowe z deltą ujemną nie ma rozwiązań rzeczywistych. * **D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste:** To jest błędne, ponieważ równanie kwadratowe z deltą ujemną nie ma rozwiązań rzeczywistych. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** A _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/4) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152%2Fzad%2F4) ## Podobne zadania - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-4) Rozwiąż równanie 3 sin2 𝑥-sin2(2𝑥) = 0 w przedziale 〈𝜋, 2𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb - [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) Rozwiąż równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 11. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana lic - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-probna-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-4) Rozwiąż równanie: sin (𝑥+ 1 4 𝜋) ⋅cos (𝑥+ 1 4 𝜋) = √2 4 EMAP-R0_100 Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 7. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana l _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_