# Matematyka — zadanie 6

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/6
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)
- rok: 2015
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: Granice

## Treść

3 2 { 11 n + 6 n + 5 2 n + 2 n +1 ) Oblicz granicę lim n \to \(\infty\) (} 6 n 3 +1 - 5 n 2 - 4 . W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. \(MMA_{1}R\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

Wynik to \(\dfrac{43}{30} = 1{,}4\overline{3}\). Cyfry do wpisania: **1**, **4**, **3**.

## Sposób 1 - Podzielenie licznika i mianownika przez najwyższą potęgę

Granicę obliczamy osobno dla każdego ułamka, korzystając ze standardowej techniki: **dzielimy licznik i mianownik przez \(n\) w najwyższej potędze mianownika**.

**Pierwsza część:** \(\dfrac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}\)

Dzielimy wszystko przez \(n^3\):

\[\lim_{n \to \infty} \frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{11 + \dfrac{6}{n^2} + \dfrac{5}{n^3}}{6 + \dfrac{1}{n^3}} = \frac{11 + 0 + 0}{6 + 0} = \frac{11}{6}\]

**Druga część:** \(\dfrac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\)

Dzielimy wszystko przez \(n^2\):

\[\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2}}{5 - \dfrac{4}{n^2}} = \frac{2 + 0 + 0}{5 - 0} = \frac{2}{5}\]

**Składamy wynik** (obie granice istnieją i są skończone, więc granica różnicy = różnica granic):

\[\lim_{n \to \infty}\left(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\right) = \frac{11}{6} - \frac{2}{5}\]

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

\[\frac{11}{6} - \frac{2}{5} = \frac{11 \cdot 5}{30} - \frac{2 \cdot 6}{30} = \frac{55}{30} - \frac{12}{30} = \boxed{\frac{43}{30}}\]

Rozwinięcie dziesiętne:

\[\frac{43}{30} = 1{,}4333\ldots = 1{,}4\overline{3}\]

**Cyfry do wpisania:** jedności = **1**, pierwsza po przecinku = **4**, druga po przecinku = **3**.

## Sposób 2 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika i analiza stopnia

Sprowadzamy wyrażenie do jednego ułamka:

\[\frac{(11n^3+6n+5)(5n^2-4) - (2n^2+2n+1)(6n^3+1)}{(6n^3+1)(5n^2-4)}\]

Rozwijamy licznik (wystarczy śledzić **najwyższe potęgi** do wyznaczenia granicy):

Licznik:
\[(11n^3+\ldots)(5n^2-\ldots) - (2n^2+\ldots)(6n^3+\ldots)\]

Człon \(n^5\): \(11 \cdot 5 \cdot n^5 - 2 \cdot 6 \cdot n^5 = 55n^5 - 12n^5 = 43n^5\)

Mianownik: \((6n^3)(5n^2) + \ldots = 30n^5 + \ldots\)

Zatem:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{43n^5 + \text{niższe potęgi}}{30n^5 + \text{niższe potęgi}} = \frac{43}{30}\]

**Wynik zgodny z Metodą 1.** ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-11)** - właściwości granic ciągów:
\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0 \quad \text{dla } k > 0\]
Użyliśmy tej własności, by uzasadnić, że wyrazy \(\dfrac{6}{n^2}, \dfrac{5}{n^3}, \dfrac{2}{n}, \dfrac{1}{n^2}, \dfrac{4}{n^2} \to 0\) przy \(n \to \infty\).

Karta wzorów nie zawiera wprost twierdzeń o granicy funkcji wymiernej, ale technika "dzielenia przez najwyższą potęgę" wynika bezpośrednio z tej zasady.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

To zadanie otwarte (wpisywanie cyfr), ale typowe błędy prowadzące do złego wyniku:

| Błąd | Zły wynik |
| Wzięcie granicy **tylko pierwszego** ułamka i wpisanie \(\frac{11}{6} = 1{,}83\ldots\) | cyfry: 1, 8, 3 |
| Odejmowanie tylko **wiodących współczynników** bez sprowadzenia: \(\frac{11-2}{6-5} = 9\) | cyfry: 9, 0, 0 |
| Pomylenie mianownika przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika (np. \(6-2=4\) zamiast NWW) | wynik fałszywy |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Granicę różnicy można rozbić na różnicę granic **tylko wtedy**, gdy obie granice są skończone. Tutaj tak jest - obie dają liczby wymierne.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu przez \(n^3\) pamiętaj, że \(\frac{6n}{n^3} = \frac{6}{n^2}\), a nie \(\frac{6}{n}\) - łatwo tu się pomylić z wykładnikiem.

> ⚠️ **Uwaga:** \(\frac{43}{30}\) to ułamek z rozwinięciem **okresowym** \(1{,}4\overline{3}\) - trzecia cyfra kratki to **3**, nie **4** ani **0**!

**Wynik: 1,43** (cyfra jedności: **1**, pierwsze dwie cyfry po przecinku: **4, 3**)

### Sposób 1 - Granica każdego ułamka osobno

**Ułamek 1:** \(\lim_{n \to \infty}\dfrac{11n^{3}+6n+5}{6n^{3}+1}\). Dzielimy licznik i mianownik przez \(n^{3}\):
\[\lim_{n \to \infty}\dfrac{11+\frac{6}{n^{2}}+\frac{5}{n^{3}}}{6+\frac{1}{n^{3}}}=\dfrac{11}{6}\]

**Ułamek 2:** \(\lim_{n \to \infty}\dfrac{2n^{2}+2n+1}{5n^{2}-4}\). Dzielimy przez \(n^{2}\):
\[\lim_{n \to \infty}\dfrac{2+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{5-\frac{4}{n^{2}}}=\dfrac{2}{5}\]

Różnica: \(\dfrac{11}{6}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{55-12}{30}=\dfrac{43}{30}\).

Rozwinięcie dziesiętne: \(\dfrac{43}{30}=1{,}4\overline{3}=1{,}4333\ldots\)

Cyfra jedności: \(1\); pierwsze dwie cyfry po przecinku: \(4\) i \(3\).

### Sposób 2 - Reguła granicy ilorazu wielomianów

Dla ciągów postaci \(\frac{a_kn^k+\ldots}{b_kn^k+\ldots}\) granica jest \(\frac{a_k}{b_k}\) (najwyższy stopień tego samego rzędu w liczniku i mianowniku). Tu mamy \(\frac{11n^{3}}{6n^{3}}=\frac{11}{6}\) i \(\frac{2n^{2}}{5n^{2}}=\frac{2}{5}\). Różnica \(\frac{11}{6}-\frac{2}{5}=\frac{43}{30} \approx 1{,}4333\).

### Uwagi o punktacji
Za poprawne obliczenie obu granic: 1 pkt. Za poprawne zapisanie cyfr w kratkach (1; 4; 3): 2 pkt.

**Trik/Klucz:** W granicach wielomianów liczy się tylko stosunek współczynników przy najwyższych potęgach - resztę można śmiało "zignorować".

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Rozwinięcie wielomianu i obliczenie granicy
Rozwińmy wielomian \(6n^3 + 1 - 5n^2 - 4\):
\[6n^3 + 1 - 5n^2 - 4 = 6n^3 - 5n^2 + 1 - 4 = 6n^3 - 5n^2 - 3\]

Teraz obliczamy granicę:
\[\lim_{n \to \infty} (6n^3 - 5n^2 - 3)\]
Ponieważ \(n \to \infty\), wyrazy z potęgami najwyższymi dominują. Zatem:
\[\lim_{n \to \infty} (6n^3 - 5n^2 - 3) = \lim_{n \to \infty} 6n^3 = \infty\]
Granica nie istnieje, ponieważ rośnie do nieskończoności. Jednakże, pytanie dotyczy obliczenia *cyfr jedności i pierwszych dwóch cyfr* wyniku. W tym przypadku, rozwinięcie wielomianu i obliczenie granicy nie prowadzi do konkretnej wartości, którą można by zinterpretować jako cyfry.

📖 Karta wzorów: s.4-5, Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| strona 4

### Sposób 2: Analiza bez rozwinięcia (bardziej intuicyjny)
Zauważmy, że dla dużych wartości *n*, \(6n^3\) jest znacznie większe niż \(5n^2\) i \(3\). Zatem możemy przyjąć, że wyrażenie \(6n^3 - 5n^2 - 3\) rośnie bez ograniczeń, gdy *n* dąży do nieskończoności. To oznacza, że granica \( \lim_{n \to \infty} (6n^3 - 5n^2 - 3) \) również dąży do nieskończoności. Ponieważ pytanie dotyczy cyfr jedności i pierwszych dwóch cyfr, musimy znaleźć, jak te cyfry zachowują się w nieskończoności. Jednakże, bez konkretnego rozwinięcia i analizy, nie możemy dokładnie określić cyfr.

📖 Karta wzorów: s.4-5, Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| strona 4

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A:** Ta odpowiedź nie jest poprawna, ponieważ nie ma żadnej konkretnej wartości, którą można by przypisać granicy.
* **B:** Ta odpowiedź również nie jest poprawna, ponieważ nie ma żadnej konkretnej wartości, którą można by przypisać granicy.
* **D:** Ta odpowiedź również nie jest poprawna, ponieważ nie ma żadnej konkretnej wartości, którą można by przypisać granicy.

W tym zadaniu, pytanie jest nieco mylące. Granica \( \lim_{n \to \infty} (6n^3 - 5n^2 - 3) \) nie daje nam konkretnej liczby, którą można by zinterpretować jako cyfry. Pytanie prawdopodobnie miało na myśli obliczenie *odległości* od zera, a nie faktycznej wartości granicy. Jednakże, z podanych opcji, odpowiedź C jest najbardziej adekwatna, ponieważ wskazuje na to, że wynik granicy jest bardzo duży i nie można go jednoznacznie określić cyframi. W rzeczywistości, granica rośnie do nieskończoności, co nie pasuje do żadnej z podanych opcji.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/6)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152%2Fzad%2F6)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Oblicz granicę 3 2 2 3 2 2 9 11 lim 7 5 3 1 3 1 n n n n n n n n →∞       Wpisz w poniższe kratki - od lewej do prawej - trzy kolejne cyfr
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-2) Oblicz granicę ciągu o wyrazie a n n n n 2 1 5 20 00 0 n = i. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfry wyniku. 2 1 1 c m Próbny egzamin maturalny 
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/6) — 3 2 { 11 n + 6 n + 5 2 n + 2 n +1 ) Oblicz granicę lim n \to \(\infty\) (} 6 n 3 +1 - 5 n 2 - 4 . W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-2) Oblicz granicę ciągu a n n 2 3 2 5 8 3 1 n 2 g h h . Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. 5 z 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_