# Matematyka — zadanie 9

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/9
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)
- rok: 2015
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: Planimetria

## Treść

Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: P , Q , R , S

/matma-quiz/images/cke/MMA-R1_1P-152/z9.png

. D S A P R Q B C Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg. \(MMA_{1}R\) Nr zadania --- | 3 | \(MMA_{1}R\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)

Należy wykazać, że czworokąt \(PQRS\) da się wpisać w okrąg, tzn. że jego przeciwległe kąty sumują się do \(180°\).

## Sposób 1 - kąty w trójkątach tworzonych przez dwusieczne

**Oznaczenia.** Niech kąty czworokąta \(ABCD\) wynoszą:
\[
\angle DAB = 2\alpha,\quad \angle ABC = 2\beta,\quad \angle BCD = 2\gamma,\quad \angle CDA = 2\delta.
\]
Dwusieczne kolejno dzielą te kąty na połowy.

**Krok 1: Własność czworokąta wpisanego.**

Ponieważ \(ABCD\) jest wpisany w okrąg, jego przeciwległe kąty są suplementarne:
\[
\angle DAB + \angle BCD = 180° \implies 2\alpha + 2\gamma = 180° \implies \alpha + \gamma = 90°,
\]
\[
\angle ABC + \angle CDA = 180° \implies 2\beta + 2\delta = 180° \implies \beta + \delta = 90°.
\]

Stąd wynika kluczowa równość:
\[
\alpha + \beta + \gamma + \delta = 90° + 90° = 180°.
\]

**Krok 2: Identyfikacja wierzchołków \(PQRS\).**

Punkt \(P\) = przecięcie dwusiecznej kąta \(A\) z dwusieczną kąta \(B\),
Punkt \(Q\) = przecięcie dwusiecznej kąta \(B\) z dwusieczną kąta \(C\),
Punkt \(R\) = przecięcie dwusiecznej kąta \(C\) z dwusieczną kąta \(D\),
Punkt \(S\) = przecięcie dwusiecznej kąta \(D\) z dwusieczną kąta \(A\).

**Krok 3: Obliczenie kątów \(\angle P\) i \(\angle R\) w czworokącie \(PQRS\).**

Rozważmy trójkąt \(APB\):
- Kąt przy \(A\) (między bokami \(AB\) i dwusieczną) \(= \alpha\)
- Kąt przy \(B\) \(= \beta\)

Z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie:
\[
\angle P = \angle APB = 180° - \alpha - \beta.
\]

Analogicznie w trójkącie \(CRD\):
\[
\angle R = \angle CRD = 180° - \gamma - \delta.
\]

**Krok 4: Suma kątów przeciwległych.**

\[
\angle P + \angle R = (180° - \alpha - \beta) + (180° - \gamma - \delta)
= 360° - \underbrace{(\alpha + \beta + \gamma + \delta)}_{= 180°}
= 360° - 180° = \boxed{180°}.
\]

Ponieważ suma przeciwległych kątów \(\angle P + \angle R = 180°\), na czworokącie \(PQRS\) **można opisać okrąg**. \(\square\)

## Sposób 2 - przez miary łuków

**Oznaczenia łuków.** Niech:
\[
\text{łuk } AB = a,\quad \text{łuk } BC = b,\quad \text{łuk } CD = c,\quad \text{łuk } DA = d,
\]
gdzie \(a + b + c + d = 360°\).

**Kąty czworokąta jako połowy łuków** (kąt wpisany = połowa łuku):

Kąt przy wierzchołku \(A\) (między cięciwami \(AB\) i \(AD\)) = połowa łuku \(BD\) nie zawierającego \(A\):
\[
\angle DAB = \frac{b + c}{2} = 2\alpha \implies \alpha = \frac{b+c}{4}.
\]

Analogicznie:
\[
\beta = \frac{c+d}{4},\quad \gamma = \frac{d+a}{4},\quad \delta = \frac{a+b}{4}.
\]

**Weryfikacja:** \(\alpha + \gamma = \frac{b+c}{4} + \frac{d+a}{4} = \frac{a+b+c+d}{4} = \frac{360°}{4} = 90°\). ✓

**Kąt przy \(P\):**
\[
\angle P = 180° - \alpha - \beta = 180° - \frac{b+c}{4} - \frac{c+d}{4} = 180° - \frac{b+2c+d}{4}.
\]

**Kąt przy \(R\):**
\[
\angle R = 180° - \gamma - \delta = 180° - \frac{d+a}{4} - \frac{a+b}{4} = 180° - \frac{2a+b+d}{4}.
\]

**Suma:**
\[
\angle P + \angle R = 360° - \frac{b+2c+d+2a+b+d}{4} = 360° - \frac{2(a+b+c+d)}{4} = 360° - \frac{2 \cdot 360°}{4} = 360° - 180° = 180°. \quad \square
\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany w okrąg:

> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Czyli: kąt wpisany subtendujący łuk \(= \frac{\text{miara łuku}}{2}\).

Użyte w **Sposobie 2** do wyznaczenia kątów czworokąta wpisanego przez łuki.

**Dział 10 (s. 20)** - własność czworokąta wpisanego:

\[
\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180°
\]
(suma kątów przeciwległych czworokąta wpisanego = 180°).

Użyte w **Sposobie 1** jako punktu startowego - to kluczowa własność okręgu opisanego.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek "wpisany w okrąg" jest tu niezbędny - dla ogólnego czworokąta kąty przy \(A\) i \(C\) nie musiałyby sumować się do \(180°\), więc równość \(\alpha + \gamma = 90°\) mogłaby nie zachodzić.

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kąty w trójkącie \(APB\): kąt przy \(A\) to **połowa** kąta \(\angle DAB\) (bo to dwusieczna!), nie cały kąt. Pisz wyraźnie \(\alpha = \frac{\angle DAB}{2}\).

> ⚠️ **Uwaga:** W dowodzie wystarczy pokazać, że **jedna para** kątów przeciwległych sumuje się do \(180°\) - wystarczy zbadać \(\angle P + \angle R\). Nie trzeba osobno sprawdzać \(\angle Q + \angle S\) (choć oczywiście też wychodzi \(180°\) z analogicznego rachunku).

### Sposób 1 - Warunek wpisania (suma kątów przeciwległych = 180°)

Na czworokącie da się opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy suma miar kątów przeciwległych wynosi \(180^{\circ}\) (karta wzorów, dział 7. Planimetria).

Oznaczmy kąty wewnętrzne czworokąta \(ABCD\) jako \(2\alpha, 2\beta, 2\gamma, 2\delta\), odpowiednio przy wierzchołkach \(A, B, C, D\). Ponieważ \(ABCD\) jest wpisany w okrąg:
\[2\alpha+2\gamma=180^{\circ} \Rightarrow \alpha+\gamma=90^{\circ}\]
\[2\beta+2\delta=180^{\circ} \Rightarrow \beta+\delta=90^{\circ}\]

Punkt \(P\) to przecięcie dwusiecznych kątów \(A\) i \(B\); w trójkącie \(ABP\): \(\angle APB = 180^{\circ}-\alpha-\beta\). Analogicznie \(\angle CRD = 180^{\circ}-\gamma-\delta\) (gdzie \(R\) to przecięcie dwusiecznych \(C\) i \(D\)).

Kąty czworokąta \(PQRS\) przy \(P\) i \(R\) są wierzchołkami (kąty pionowe lub przeciwległe): \(\angle P+\angle R = (180^{\circ}-\alpha-\beta)+(180^{\circ}-\gamma-\delta)=360^{\circ}-(\alpha+\beta+\gamma+\delta)=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ}\).

Zatem kąty przeciwległe \(\angle P+\angle R = 180^{\circ}\), więc na \(PQRS\) można opisać okrąg. \(\blacksquare\)

### Sposób 2 - Kąty przy \(Q\) i \(S\)

Analogicznie, w trójkątach zawierających dwusieczne pokazuje się \(\angle Q+\angle S=180^{\circ}\). Oba warunki dają, że \(PQRS\) jest czworokątem wpisanym w okrąg.

### Uwagi o punktacji
- 1 pkt: zastosowanie oznaczeń kątów \(2\alpha, 2\beta, 2\gamma, 2\delta\) i wypisanie warunku wpisania \(ABCD\).
- 2 pkt: obliczenie kąta \(\angle P\) (lub \(\angle Q\)) w trójkącie zawierającym dwusieczne.
- 3 pkt: wykazanie sumy kątów przeciwległych \(PQRS\) równej \(180^{\circ}\).

**Trik/Klucz:** Użyj sumy kątów w trójkącie i faktu, że \(ABCD\) wpisany daje \(\alpha+\gamma=\beta+\delta=90^{\circ}\) po połowieniu.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Własność kątów wpisanych

**Kroki:**

1. **Zrozumienie własności kątów wpisanych:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku. Zatem, kąt ∠SPQ = 1/2 ∠SAD, ∠SRQ = 1/2 ∠SBD, ∠RSP = 1/2 ∠RBD, ∠QSD = 1/2 ∠QAD.
2. **Analiza czworokąta PQRS:** Zauważmy, że PQRS jest czworokątem, którego wierzchołki leżą na okręgu. Ponieważ P, Q, R, S są punktami przecięcia dwóch prostych z okręgiem, to kąty ∠SPQ, ∠SRQ, ∠RSP, ∠QSD są kątami wpisanymi.
3. **Wykorzystanie własności kątów wpisanych:** Aby pokazać, że PQRS można opisać okręgiem, musimy sprawdzić, czy suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni. Warto zauważyć, że ∠SPQ + ∠SRQ + ∠RSP + ∠QSD = 4 * (1/2 ∠SAD) = 2∠SAD. Jeśli ∠SAD = 180 stopni, to suma kątów w czworokącie wynosi 360 stopni.
4. **Wniosek:** Ponieważ PQRS jest czworokątem wpisanym w okrąg, to jego wierzchołki leżą na okręgu. W szczególności, PQRS można opisać okręgiem.

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (Używamy tej strony, aby zrozumieć pojęcie kąta wpisanych i środkowego)

### Sposób 2: Własność kątów wpisanych i kąta środkowego

**Kroki:**

1. **Zdefiniujmy:** Niech O będzie środkiem okręgu. Wtedy ∠SOA = α, ∠SBO = β, ∠COA = γ, ∠DOA = δ.
2. **Zauważmy:** Ponieważ P, Q, R, S leżą na okręgu, to ∠SPQ = (1/2)∠SAD, ∠SRQ = (1/2)∠SBD, ∠RSP = (1/2)∠RBD, ∠QSD = (1/2)∠QAD.
3. **Zbadajmy kąt środkowy:** Kąt środkowy ∠SOA jest równy 2∠SDA.
4. **Zbadajmy kąt wpisany:** Kąt wpisany ∠SPA = (1/2)∠SOA = (1/2) * 2∠SDA = ∠SDA.
5. **Zauważmy:** Kąt ∠SPA = ∠SDA jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku AS. Podobnie, ∠SBA = ∠SDA, ∠RCD = ∠SDA, ∠QDE = ∠SDA.
6. **Wniosek:** Ponieważ ∠SPA = ∠SDA, ∠SBA = ∠SDA, ∠RCD = ∠SDA, ∠QDE = ∠SDA, to PQRS jest czworokątem, którego wszystkie kąty są równe ∠SDA. Zatem, PQRS jest czworokątem równym, a czworościany równenne jest zawsze wpisane w okrąg.

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (Używamy tej strony, aby zrozumieć pojęcie kąta wpisanych i środkowego)

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A:** Odpowiedź A sugeruje, że wierzchołki czworokąta leżą na okręgu, co jest fałszem. W zadaniu podano, że czworokąt jest wpisany w okrąg, co oznacza, że jego wierzchołki leżą na okręgu.
* **C:** Odpowiedź C sugeruje, że wierzchołki czworokąta leżą na okręgu, co jest fałszem. W zadaniu podano, że czworokąt jest wpisany w okrąg, co oznacza, że jego wierzchołki leżą na okręgu.
* **D:** Odpowiedź D sugeruje, że PQRS może być opisywany przez okrąg, co jest prawdą, ale nie wyjaśnia, dlaczego to jest tak. Sposób, w jaki jest to udowodnione, jest kluczowy.

W obu sposobach, kluczowym elementem jest wykorzystanie własności kątów wpisanych i środkowych.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152/zad/9)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-mma-r1-1p-152%2Fzad%2F9)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2018-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (3 pkt) Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz AC BC > . Dwusieczna C d kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osio
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-3) Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz AC BC > . Dwusieczna C d kąta ACB przecina bok AB w punkcie K. Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowe

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_