# Matematyka — zadanie 4.142

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/skul-721/zad/4.142
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2020 (rozszerzona)
- rok: 2020
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: 4. Geometria płaska – okręgi i koła, Dwusieczne kątów trójkąta. Okrąg wpisany w trójkąt

## Treść

W tym zadaniu musisz udowodnić twierdzenie.

## Rozwiązanie — skul.pl

Naszkicuj rysunek pomocniczy, na którym opisz wierzchołki trójkąta. Wprowadź oznaczenia zgodne z poleceniem. Ramiona trójkąta są styczne do okręgu, dlatego promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do boków. W związku z tym czworokąt utworzony przez punkty C, P, O, Q jest kwadratem o boku r. W związku z tym |CP| = r i |CQ| = r, na następnie |AP| = a – r i |BQ| = b – r. Na mocy twierdzenia o odcinkach stycznych, długość odcinka |AR| = |AP| = a – r oraz |BR| = |BQ| = b – r. Odcinki |AR| i |BR| sumują się do odcinka |AB|, którego długość jest równa c. Przyrównaj sumę odcinków do c, a następnie przekształć równanie, otrzymując tym samym tezę.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Cnw.

_Odpowiedź ze skul.pl — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/skul-721/zad/4.142)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=skul-721%2Fzad%2F4.142)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4.139.c](https://matura.lol/question/skul-721/zad/4.139.c) — W tym zadaniu musisz narysować trójkąt równoramienny. Następnie określ, gdzie względem trójkąta, znajdują się środki okręgów opisanego na trójkącie i wpisanego 
- [Zadanie 4.137.b](https://matura.lol/question/skul-721/zad/4.137.b) — W tym zadaniu musisz udowodnić twierdzenie.
- [Zadanie 4.139.b](https://matura.lol/question/skul-721/zad/4.139.b) — W tym zadaniu musisz narysować trójkąt równoramienny. Następnie określ, gdzie względem trójkąta, znajdują się środki okręgów opisanego na trójkącie i wpisanego 
- [Zadanie 4.151.a](https://matura.lol/question/skul-721/zad/4.151.a) — W tym zadaniu musisz podać długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_