# Matematyka — zadanie 4.149.b

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/skul-721/zad/4.149.b
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2020 (rozszerzona)
- rok: 2020
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: 4. Geometria płaska – okręgi i koła, Dwusieczne kątów trójkąta. Okrąg wpisany w trójkąt

## Treść

W tym zadaniu musisz na obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt.

## Rozwiązanie — skul.pl

Na początku sprawdź czy trójkąt jest ostrokątny, czy rozwartokątny. Aby to zrobić oceń, czy suma kwadratów długości ramion jest większa (trójkąt ostrokątny), czy mniejsza (trójkąt rozwartokątny) od kwadratu długości podstawy.
Sposób I:
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CHB oblicz wysokość trójkąta ABC. Następnie zauważ, że trójkąty EOC i HBC są trójkątami prostokątnymi o wspólnym kącie ostrym, a więc są one podobne na mocy cechy kąt – kąt – kąt. Porównaj ze sobą stosunki długości odpowiednich boków otrzymując w ten sposób równanie, z którego wyznacz promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
Sposób II:
Tak samo, jak w pierwszym sposobie oblicz wysokość trójkąta. Następnie zauważ, że na mocy twierdzenia o odcinkach stycznych, odcinki BH i BE mają równe długości. Długość odcinka CE wyznacz jako różnicę długości odcinków BC i BE. Ułóż równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OEC otrzymując równanie, z którego wyznacz następnie promień okręgu.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** – trójkąt rozwartokątny
Sposób I:
Sposób II:

_Odpowiedź ze skul.pl — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/skul-721/zad/4.149.b)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=skul-721%2Fzad%2F4.149.b)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4.139.c](https://matura.lol/question/skul-721/zad/4.139.c) — W tym zadaniu musisz narysować trójkąt równoramienny. Następnie określ, gdzie względem trójkąta, znajdują się środki okręgów opisanego na trójkącie i wpisanego 
- [Zadanie 4.137.b](https://matura.lol/question/skul-721/zad/4.137.b) — W tym zadaniu musisz udowodnić twierdzenie.
- [Zadanie 4.139.b](https://matura.lol/question/skul-721/zad/4.139.b) — W tym zadaniu musisz narysować trójkąt równoramienny. Następnie określ, gdzie względem trójkąta, znajdują się środki okręgów opisanego na trójkącie i wpisanego 
- [Zadanie 4.151.a](https://matura.lol/question/skul-721/zad/4.151.a) — W tym zadaniu musisz podać długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_