# Matematyka — zadanie 7.132.a

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.132.a
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2020 (rozszerzona)
- rok: 2020
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: 7. Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole koła, Sprawdź, czy umiesz

## Treść

W tym zadaniu musisz udowodnić podane twierdzenie.

## Rozwiązanie — skul.pl

Zapisz pola trójkątów AOD i BOC jako różnicę pól odpowiednio trójkątów ABC i ABD i pola trójkąta ABO. Ponieważ pola trójkątów ABD i ABC są takie samy (trójkąty mają równe wysokości i podstawę), pola trójkątów AOD i BOC również są takie same, co kończy pierwszą część dowodu.
Trójkąty ABO i DCO są podobne na mocy cechy kąt – kąt – kąt (jedna para kątów wewnętrznych jest wierzchołkowa, a dwie są kątami odpowiadającymi). Wyznacz skalę podobieństwa trójkątów jako pierwiastek skali podobieństwa pól. Zapisz pole trójkąta AOD (oznaczone jako P) jako różnicę pól trójkątów ABD i ABO. Zauważ, że trójkąty mają równe podstawy, więc wyrażenie
możesz wyłączyć przed nawias. Różnica wysokości trójkątów jest równa wysokości trójkąta DOC. Ze znanej skali podobieństwa trójkątów ABO i DCO wyznacz długość boku |AB| w zależności od |DC|. Podstaw tę zależność do pola P. Zauważ, że wyrażenie
opisuje pole P₁ trójkąta DOC. Uprość otrzymany ułamek, otrzymując wyrażenie z tezy.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/skul-721/zad/7.132.a)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=skul-721%2Fzad%2F7.132.a)

## Podobne zadania

- [Zadanie 7.132.b](https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.132.b) — W tym zadaniu musisz udowodnić podane twierdzenie.
- [Zadanie 7.113.b](https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.113.b) — W tym zadaniu musisz obliczyć długości wszystkich boków i miary wszystkich kątów trójkąta.
- [Zadanie 7.103](https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.103) — W tym zadaniu musisz wyznaczyć miarę największego kąta w trójkącie o podanych długościach boków.
- [Zadanie 7.104](https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.104) — W tym zadaniu musisz obliczyć długość podanego boku.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_