# Matematyka — zadanie 7.86

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.86
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2020 (rozszerzona)
- rok: 2020
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: 7. Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole koła, Pola koła, pole wycinka koła

## Treść

W tym zadaniu musisz udowodnić twierdzenie.

## Rozwiązanie — skul.pl

Wyznacz długość przeciwprostokątnej trójkąta równoramiennego korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu (trójkąt prostokątny równoramienny jest połową kwadratu). Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest połową długości przeciwprostokątnej.
Zauważ, że kąty czworokąta CDO₂F są proste, a także jego boki są długości r, zatem czworokąt jest kwadratem, o boku długości r i przekątnej długości r
.
Trójkąt CO₁B jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o ramionach |CO₁| i |O₁B|. Odcinek CO₁ jest sumą odcinków |CO₂| = r
oraz |O₂O₁| = r. Otrzymasz zatem równanie wiążące wartości r i R, z których możesz wyznaczyć stosunek długości promieni.
Zapisz ułamek opisujący stosunek pól kół, a następnie skróć ułamek przez
. Postaw znany stosunek
i podnieś go do kwadratu.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/skul-721/zad/7.86)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=skul-721%2Fzad%2F7.86)

## Podobne zadania

- [Zadanie 7.98.a](https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.98.a) — W tym zadaniu musisz podać pole koła wpisanego w trójkąt o podanych długościach boków.
- [Zadanie 7.92](https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.92) — W tym zadaniu musisz ustalić pole i obwód zaznaczonej na niebiesko figury.
- [Zadanie 7.93](https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.93) — W tym zadaniu musisz udowodnić podane twierdzenie.
- [Zadanie 7.87.a](https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.87.a) — W tym zadaniu musisz podać pole zaznaczonego na rysunku wycinka kołowego.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_