# Matematyka — zadanie 7.96

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.96
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2020 (rozszerzona)
- rok: 2020
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: 7. Geometria płaska – rozwiązywanie trójkątów, pole trójkąta, pole koła, Pola koła, pole wycinka koła

## Treść

W tym zadaniu musisz podać pole wycinka kołowego.

## Rozwiązanie — skul.pl

Dzięki znajomości pola trójkąta OAB wyznacz sinus kąta między ramionami za pomocą wzoru
.
Kąt między ramionami trójkąta jest równy połowie kąta środkowego, który wyznacza wycinek koła. (jeżeli oznaczysz punkt styczności okręgów przez P otrzymasz 4 kąty, wszystkie będące kątami ostrymi przystających trójkątów prostokątnych, których przyprostokątne są równe promieniowi mniejszego okręgu i odległości od punktu O do punktu styczności z okręgiem, a przeciwprostokątne są równe odległości punktu O i środków mniejszego okręgu)
Oznacz przez h wysokość trójkąta OAB, a przez r promień mniejszego okręgu.
Zapisz równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta OPB, a także równanie opisujące pole trójkąta OPB. Otrzymasz układ równań z dwoma niewiadomymi.
Rozwiąż układ przez podstawienie za h wielkości zależnej od r, wyznaczonej z drugiego równania. Po podstawieniu h do pierwszego równania otrzymasz
.
Aby rozwiązać powyższe równanie, podstaw za r² zmienną pomocniczą t i rozwiąż równanie kwadratowe pamiętając, że t musi być nieujemne.
Wróć do podstawienia i wyznacz możliwe wartości r. Wynik
odrzuć, ponieważ promień mniejszego okręgu musi być mniejszy od odległości między środkiem okręgu, a punktem O.
Promień wycinka jest równy sumie odległości punktów O i B oraz promienia okręgu r.
Pole wycinka oblicz korzystając ze wzoru

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/skul-721/zad/7.96)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=skul-721%2Fzad%2F7.96)

## Podobne zadania

- [Zadanie 7.98.a](https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.98.a) — W tym zadaniu musisz podać pole koła wpisanego w trójkąt o podanych długościach boków.
- [Zadanie 7.92](https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.92) — W tym zadaniu musisz ustalić pole i obwód zaznaczonej na niebiesko figury.
- [Zadanie 7.93](https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.93) — W tym zadaniu musisz udowodnić podane twierdzenie.
- [Zadanie 7.87.a](https://matura.lol/question/skul-721/zad/7.87.a) — W tym zadaniu musisz podać pole zaznaczonego na rysunku wycinka kołowego.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_