# Matematyka — zadanie 8.212

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.212
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2020 (rozszerzona)
- rok: 2020
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: 8. Wielomiany, Równania wielomianowe z parametrem

## Treść

W tym zadaniu musisz znaleźć wszystkie wartości parametru m, które spełniają podany warunek, a potem podaj dla nich właściwe rozwiązania.

## Rozwiązanie — skul.pl

Równanie
ma dwa rozwiązania równe 2 i 4 niezależne od wartości parametru m. Zauważ, że pierwiastki równania
, na mocy wzorów Viete’a, spełniają zależność
. Jeden z tych pierwiastków musi należeć do zbioru
lub pierwiastki te muszą być równe i nienależące do zbioru
.
Do równania
podstaw kolejno pierwiastki 2 i 4, a następnie na ich podstawie wyznacz wartości drugiego z pierwiastków. Jeśli drugi obliczony pierwiastek nie należy do zbioru
, wyznacz dla niego odpowiednią wartość parametru, przez przyrównanie do siebie równań w postaci ogólnej i iloczynowej.
Równanie
może mieć również rozwiązanie
, dla którego równanie
będzie miało trzy pierwiastki. Również dla tego rozwiązania oblicz wartość parametru, przyrównując wzoru w postaci iloczynowej i ogólnej.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** W równaniu
zachodzi:
Przypadek I: jedno z rozwiązań jest równe 2:
Przypadek II: jedno z rozwiązań jest równe 4:
W tym przypadku równanie ma tylko dwa rozwiązania równe 2 i 4.
Przypadek III: oba rozwiązania są równe -4:
Odp.:
- dla
- dla

_Odpowiedź ze skul.pl — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/skul-721/zad/8.212)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=skul-721%2Fzad%2F8.212)

## Podobne zadania

- [Zadanie 8.206](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.206) — W tym zadaniu musisz znaleźć taką wartość parametru, dla której jedno z rozwiązań podanego równania jest średnią arytmetyczną pozostałych dwóch rozwiązań.
- [Zadanie 8.207](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.207) — W tym zadaniu musisz znaleźć wartości parametru k.
- [Zadanie 8.208](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.208) — W tym zadaniu musisz udowodnić podaną zależność.
- [Zadanie 8.209](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.209) — W tym zadaniu musisz znaleźć wszystkie wartości parametru k, które spełniają podaną zależność.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_