# Matematyka — zadanie 8.219

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.219
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2020 (rozszerzona)
- rok: 2020
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: 8. Wielomiany, Równania wielomianowe z parametrem

## Treść

W tym zadaniu musisz wyznaczyć wszystkie wartości parametru p, dla których powyższe równanie wielomianowe będzie miało trzy rozwiązania.

## Rozwiązanie — skul.pl

Zapisz lewą stronę równania w formie wielomianu, a następnie zauważ, że 1 jest pierwiastkiem wielomianu niezależnie od wartości parametru p. W związku z tym możesz podzielić W(x) przez dwumian x – 1 (skorzystaj przy tym ze schematu Hornera). Zapisz wielomian w formie iloczynu wielomianów stopnia pierwszego i drugiego.
Aby dane równanie miało trzy różne rozwiązania, równanie
musi mieć dwa rozwiązania różne od wcześniej wyznaczonego rozwiązania równego 1. Aby ta zależność zachodziła, wyróżnik równanie musi być dodatni (co zachodzi niezależnie od wartości p) oraz żaden pierwiastek nie może być równy 1. Z drugiego warunku otrzymasz nierówność
, którą rozwiąż przy pomocy wzorów Viete’a.
Jako odpowiedź podaj iloczyn zbiorów otrzymanych przy rozwiązywaniu kolejnych warunków zadania.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** | | 3 | 2p - 4 | -2p | 1 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 3 | 3 + 2p – 4 = -1 + 2p | -1 + 2p – 2p = -1 | -1 + 1 = 0 |

Równanie
musi mieć dwa rozwiązania różne od 1.

_Odpowiedź ze skul.pl — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/skul-721/zad/8.219)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=skul-721%2Fzad%2F8.219)

## Podobne zadania

- [Zadanie 8.206](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.206) — W tym zadaniu musisz znaleźć taką wartość parametru, dla której jedno z rozwiązań podanego równania jest średnią arytmetyczną pozostałych dwóch rozwiązań.
- [Zadanie 8.207](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.207) — W tym zadaniu musisz znaleźć wartości parametru k.
- [Zadanie 8.208](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.208) — W tym zadaniu musisz udowodnić podaną zależność.
- [Zadanie 8.209](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.209) — W tym zadaniu musisz znaleźć wszystkie wartości parametru k, które spełniają podaną zależność.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_