# Matematyka — zadanie 8.289

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.289
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2020 (rozszerzona)
- rok: 2020
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: 8. Wielomiany, Sprawdź, czy umiesz

## Treść

W tym zadaniu musisz wyznaczyć liczbę pierwiastków oraz ich krotności dla wielomianu k.

## Rozwiązanie — skul.pl

Zauważ, że wielomian ma jeden pierwiastek równy 2 niezależnie od wartości parametru k. Oznacz wielomian
przez W(x).
Aby wielomian F(x) miał tylko jeden pierwiastek jednokrotny, wielomian W(x) nie może mieć pierwiastków, więc jego wyróżnik musi być ujemny.
Aby wielomian F(x) miał jeden pierwiastek trzykrotny, wielomian W(x) musi mieć pierwiastek dwukrotny równy 2. Aby wyznaczyć wartość parametru k, dla której ta zależność jest spełniona, wyróżnik równania przyrównaj do 0, a następnie sprawdź, czy dla otrzymanego k pierwiastek W(x) jest równy 2.
Aby wielomian F(x) miał jeden pierwiastek jednokrotny i jeden dwukrotny, wielomian W(x) musi mieć pierwiastek dwukrotny różny od 2. Aby wyznaczyć wartość parametru k, dla której ta zależność jest spełniona, wyróżnik równania przyrównaj do 0, a następnie sprawdź, czy dla otrzymanego k pierwiastek W(x) jest różny od 2.
Aby wielomian F(x) miał trzy różne pierwiastki jednokrotne, wyróżnik wielomianu W(x) musi być dodatni oraz żaden z jego pierwiastków nie może być równy 2. Zapisz równanie opisujące tę zależność, a następnie rozwiąż je, wykorzystując przy tym wzory Viete’a dla wielomianów stopnia trzeciego.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Przypadek I:
nie ma pierwiastków:
Przypadek II: równanie
ma jeden pierwiastek równy 2:
Dla k = -2,5:
Dla k = 1,5:
Przypadek III równanie
ma jeden pierwiastek różny od -2:
Dla k = -2,5:
Dla k = 1,5:
Przypadek IV: równanie
ma dwa pierwiastki różne od 2:
Wielomian ma jeden pierwiastek jednokrotny, dla
.
Wielomian ma jeden pierwiastek trzykrotny, gdy k = 1,5.
Wielomian ma jeden pierwiastek jednokrotny i jeden dwukrotny, gdy k = -2.5.
Wielomian ma trzy pierwiastki jednokrotne, gdy
.

_Odpowiedź ze skul.pl — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/skul-721/zad/8.289)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=skul-721%2Fzad%2F8.289)

## Podobne zadania

- [Zadanie 8.271.b](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.271.b) — W tym zadaniu musisz udowodnić podane twierdzenie.
- [Zadanie 8.280.a](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.280.a) — W tym zadaniu musisz rozłożyć wielomian na czynniki pierwsze.
- [Zadanie 8.282.a](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.282.a) — W tym zadaniu musisz wyznaczyć współrzędne podanych punktów.
- [Zadanie 8.284.a](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.284.a) — W tym zadaniu musisz rozwiązać dane równanie z wartością bezwzględną.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_