# Matematyka — zadanie 8.37.a

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.37.a
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2020 (rozszerzona)
- rok: 2020
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: 8. Wielomiany, Wzory skróconego mnożenia stopnia 3. Wzór na an – bn

## Treść

W tym zadaniu udowodnić twierdzenie.

## Rozwiązanie — skul.pl

W tym zadaniu zapisz wyrażenie 4ⁿ – 1 w postaci iloczynowej, za pomocą twierdzenia: Dla dowolnych wyrażeń a i b oraz n > 0 i n
N, prawdziwy jest wzór:
. Otrzymasz iloczyn dwóch liczb całkowitych, z których jedna jest równa 3. Iloczyn ten musi być liczbą podzielną przez 3.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** 4ⁿ – 1 = 4ⁿ – 1ⁿ = (4 – 1)(4^{n – 1} + 4^{n – 2} + 4^{n – 3} + … + 1ⁿ ⁻ ¹) = 3(4^{n – 1} + 4^{n – 2} + 4^{n – 3} + … + 1ⁿ ⁻ ¹)
Suma 4^{n – 1} + 4^{n – 2} + 4^{n – 3} + … + 1^{n – 1} jest liczbą całkowitą. Ponieważ wyrażenie jest iloczynem 3 i liczby całkowitej, jest ono podzielne przez 3.

_Odpowiedź ze skul.pl — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/skul-721/zad/8.37.a)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=skul-721%2Fzad%2F8.37.a)

## Podobne zadania

- [Zadanie 8.36.a](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.36.a) — W tym zadaniu udowodnić twierdzenie.
- [Zadanie 8.45.b](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.45.b) — W tym zadaniu musisz podać wartość wyrażenia.
- [Zadanie 8.37.b](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.37.b) — W tym zadaniu udowodnić twierdzenie.
- [Zadanie 8.36.b](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.36.b) — W tym zadaniu udowodnić twierdzenie.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_