# Matematyka — zadanie 8.66

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.66
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2020 (rozszerzona)
- rok: 2020
- poziom: rozszerzona
- typ: open
- działy: 8. Wielomiany, Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu

## Treść

W tym zadaniu musisz udowodnić podane twierdzenie.

## Rozwiązanie — skul.pl

Aby przeprowadzić dowód, wykonaj przekształcenia równoważne tezy. Na początku odejmij od niej obustronnie 3, a następnie przekształć otrzymane wyrażenie. W pierwszej kolejności zapisz wykładnik potęgi jako 2n + 1. Następnie wyłącz 3 przed nawias. Przekształć wyrażenie w nawiasie za pomocą wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Otrzymasz iloczyn 3 liczb, z których jedna jest podzielna przez 3 i co najmniej 1 jest podzielna przez 2, a więc cały iloczyn jest podzielny przez 6.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Teza:
Liczba 3ⁿ jest nieparzysta, więc liczby 3ⁿ + 1 i 3ⁿ – 1 ją parzyste. W związku z tym liczba 3(3ⁿ + 1)(3ⁿ - 1) jest iloczynem 3 i liczby podzielnej przez 2 (iloczyn liczb parzystych jest podzielny przez 2), w związku z czym jest ona również podzielna przez 6 (NWD(2, 3) = 1), więc można ją zapisać w postaci 6p. Równość otrzymana w wyniku przekształceń równoważnych tezy kończy dowód.

_Odpowiedź ze skul.pl — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/skul-721/zad/8.66)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=skul-721%2Fzad%2F8.66)

## Podobne zadania

- [Zadanie 8.79.b](https://matura.lol/question/skul-1287/zad/8.79.b) — W tym zadaniu musisz wykazać, że liczba jest liczbą naturalną, podzielną przez .
- [Zadanie 8.52.b](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.52.b) — W tym zadaniu musisz udowodnić podane twierdzenie.
- [Zadanie 8.52.a](https://matura.lol/question/skul-721/zad/8.52.a) — W tym zadaniu musisz udowodnić podane twierdzenie.
- [Zadanie 8.79.a](https://matura.lol/question/skul-1287/zad/8.79.a) — W tym zadaniu musisz wykazać, że liczba jest liczbą naturalną, podzielną przez .

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_