# Matematyka — zadanie 102

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/102
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

W stożku stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy \(\frac{3}{2}\). Oblicz sinus kąta między tworzącą a płaszczyzną podstawy tego stożka.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy:
- $$r$$ - promień podstawy stożka
- $$l$$ - długość tworzącej
- $$h$$ - wysokość stożka
- $$\alpha$$ - kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy

## Krok 1: Zapisanie pól powierzchni

Pole podstawy stożka:
$$P_{\text{podst}} = \pi r^2$$

Pole powierzchni bocznej stożka:
$$P_{\text{bocz}} = \pi r l$$

## Krok 2: Wykorzystanie danego stosunku

Z treści zadania:
$$\frac{P_{\text{bocz}}}{P_{\text{podst}}} = \frac{3}{2}$$

Podstawiamy wzory:
$$\frac{\pi r l}{\pi r^2} = \frac{3}{2}$$

Upraszczamy:
$$\frac{l}{r} = \frac{3}{2}$$

Stąd:
$$l = \frac{3r}{2}$$

## Krok 3: Znalezienie wysokości z twierdzenia Pitagorasa

W przekroju osiowym stożka otrzymujemy trójkąt prostokątny, gdzie:
- przyprostokątne to $$r$$ i $$h$$
- przeciwprostokątna to $$l$$

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$h^2 + r^2 = l^2$$

Podstawiamy $$l = \frac{3r}{2}$$:
$$h^2 + r^2 = \left(\frac{3r}{2}\right)^2$$

$$h^2 + r^2 = \frac{9r^2}{4}$$

$$h^2 = \frac{9r^2}{4} - r^2 = \frac{9r^2 - 4r^2}{4} = \frac{5r^2}{4}$$

$$h = \frac{r\sqrt{5}}{2}$$

## Krok 4: Obliczenie sinusa kąta

Kąt $$\alpha$$ między tworzącą a podstawą to kąt w trójkącie prostokątnym, gdzie:
- przeciwprostokątna: $$l = \frac{3r}{2}$$
- przyprostokątna naprzeciwko $$\alpha$$: $$h = \frac{r\sqrt{5}}{2}$$

Zatem:
$$\sin \alpha = \frac{h}{l} = \frac{\frac{r\sqrt{5}}{2}}{\frac{3r}{2}} = \frac{r\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3r} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

**Odpowiedź:** $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/102)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F102)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_