# Matematyka — zadanie 104

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/104
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Stereometria

## Treść

Tworząca stożka o kącie rozwarcia \(\alpha \) ma długość \(8\). Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe \(48\pi\). Oblicz objętość stożka oraz miarę kąta \(\alpha \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Dane i oznaczenia

Oznaczmy:
- \(l = 8\) - długość tworzącej
- \(r\) - promień podstawy
- \(h\) - wysokość stożka
- \(\alpha\) - kąt rozwarcia stożka (kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym)

## Krok 1: Wyznaczenie promienia podstawy

Pole powierzchni całkowitej stożka:
$$P_c = \pi r^2 + \pi r l$$

Podstawiamy dane:
$$48\pi = \pi r^2 + \pi r \cdot 8$$

Dzielimy przez \(\pi\):
$$48 = r^2 + 8r$$

$$r^2 + 8r - 48 = 0$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
$$\Delta = 64 + 192 = 256$$

$$r = \frac{-8 \pm 16}{2}$$

Ponieważ \(r > 0\):
$$r = \frac{-8 + 16}{2} = 4$$

## Krok 2: Wyznaczenie wysokości stożka

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(r\), \(h\) i przeciwprostokątnej \(l\):
$$h^2 + r^2 = l^2$$

$$h^2 + 16 = 64$$

$$h^2 = 48$$

$$h = 4\sqrt{3}$$

## Krok 3: Obliczenie objętości

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

$$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 4\sqrt{3}$$

$$V = \frac{64\pi\sqrt{3}}{3}$$

## Krok 4: Wyznaczenie kąta rozwarcia

Kąt rozwarcia \(\alpha\) to kąt przy wierzchołku stożka w przekroju osiowym. Połowa tego kąta to kąt między tworzącą a wysokością.

W trójkącie prostokątnym:
$$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{l} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

Zatem:
$$\frac{\alpha}{2} = 30°$$

$$\alpha = 60°$$

## Odpowiedź

$$\boxed{\alpha = 60° \text{ oraz } V = \frac{64\pi\sqrt{3}}{3}}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\alpha =60^\circ \) i \(V=\frac{64\pi \sqrt{3}}{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/104)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F104)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_