# Matematyka — zadanie 105

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/105
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Stereometria

## Treść

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDEFGH\) o krawędzi podstawy długości \(4\sqrt{2}\) oraz krawędzi bocznej równej \(8\). Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi \(AD\) i \(DC\) oraz przez wierzchołek \(H\) (zobacz rysunek). Oblicz pole otrzymanego przekroju.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozwiążemy to zadanie, ustalając układ współrzędnych i znajdując współrzędne wierzchołków przekroju.

## Krok 1: Ustalenie układu współrzędnych

Umieśćmy graniastosłup w układzie współrzędnych tak, aby:
- Punkt \(A = (0, 0, 0)\)
- Punkt \(B = (4\sqrt{2}, 0, 0)\)
- Punkt \(C = (4\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, 0)\)
- Punkt \(D = (0, 4\sqrt{2}, 0)\)

Górna podstawa (na wysokości \(z = 8\)):
- Punkt \(E = (0, 0, 8)\)
- Punkt \(F = (4\sqrt{2}, 0, 8)\)
- Punkt \(G = (4\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, 8)\)
- Punkt \(H = (0, 4\sqrt{2}, 8)\)

## Krok 2: Wyznaczenie punktów przekroju

Płaszczyzna przechodzi przez:
- \(P\) - środek krawędzi \(AD\): 
$$P = \left(0, 2\sqrt{2}, 0\right)$$

- \(Q\) - środek krawędzi \(DC\): 
$$Q = \left(2\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, 0\right)$$

- \(H\) - wierzchołek górny: 
$$H = \left(0, 4\sqrt{2}, 8\right)$$

## Krok 3: Sprawdzenie typu czworokąta przekroju

Płaszczyzna przecina również krawędź \(EH\). Środek krawędzi \(EH\):
$$R = \left(0, 2\sqrt{2}, 8\right)$$

Sprawdźmy, czy punkty \(P, Q, R, H\) leżą w jednej płaszczyźnie.

Wektory z punktu \(P\):
$$\vec{PQ} = \left(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 0\right)$$
$$\vec{PH} = \left(0, 2\sqrt{2}, 8\right)$$
$$\vec{PR} = \left(0, 0, 8\right)$$

Zauważmy, że \(\vec{PR} = (0, 0, 8)\) jest równoległy do składowej \(z\) wektora \(\vec{PH}\).

Przekrój to czworokąt \(PQHR\).

## Krok 4: Obliczenie długości boków

$$|PQ| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{8 + 8} = 4$$

$$|QH| = \sqrt{(0-2\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2}-4\sqrt{2})^2 + (8-0)^2} = \sqrt{8 + 0 + 64} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$

$$|HR| = \sqrt{(0-0)^2 + (2\sqrt{2}-4\sqrt{2})^2 + (8-8)^2} = \sqrt{0 + 8 + 0} = 2\sqrt{2}$$

$$|RP| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 8^2} = 8$$

## Krok 5: Obliczenie pola czworokąta

Przekrój jest trapezem (bo \(HR \parallel PQ\), oba są poziome na różnych poziomach, ale to nieprawda).

Obliczmy pole jako sumę pól dwóch trójkątów: \(\triangle PQH\) i \(\triangle PHR\).

**Dla \(\triangle PQH\):**
$$\vec{PQ} = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 0), \quad \vec{PH} = (0, 2\sqrt{2}, 8)$$

$$\vec{PQ} \times \vec{PH} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2\sqrt{2} & 2\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 2\sqrt{2} & 8 \end{vmatrix} = (16\sqrt{2}, -16\sqrt{2}, 4\cdot 2)$$

$$= (16\sqrt{2}, -16\sqrt{2}, 8)$$

$$|\vec{PQ} \times \vec{PH}| = \sqrt{512 + 512 + 64} = \sqrt{1088} = 4\sqrt{68} = 8\sqrt{17}$$

$$S_{PQH} = \frac{8\sqrt{17}}{2} = 4\sqrt{17}$$

**Odpowiedź:** Pole przekroju wynosi \(4\sqrt{17}\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(4\sqrt{17}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/105)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F105)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_