# Matematyka — zadanie 107

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/107
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Stereometria

## Treść

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest \(2\) razy dłuższa od wysokości ostrosłupa poprowadzonej na tę podstawę. Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-107.png]

Oznaczmy długość krawędzi podstawy jako \(a\), a wysokość ostrosłupa jako \(h\).

**Dane:**
$$a = 2h$$

**Szukane:** Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

**Krok 2: Analiza geometrii ostrosłupa**

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym:
- podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(a\)
- wysokość ostrosłupa pada do środka podstawy (punkt \(S\))
- kąt nachylenia ściany bocznej mierzymy jako kąt między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy

**Krok 3: Znajdowanie kąta nachylenia**

Kąt nachylenia ściany bocznej to kąt między:
- wysokością ostrosłupa
- wysokością ściany bocznej opuszczoną z wierzchołka na krawędź podstawy

Potrzebujemy odległości od środka podstawy \(S\) do środka krawędzi podstawy. Nazwijmy ten punkt \(M\).

**Krok 4: Obliczenie odległości \(SM\)**

W trójkącie równobocznym o boku \(a\), odległość od środka do środka boku to promień okręgu wpisanego:

$$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Możemy też użyć wzoru: dla trójkąta równobocznego promień okręgu wpisanego to \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\).

**Krok 5: Rozważenie trójkąta prostokątnego**

W płaszczyźnie przechodzącej przez:
- wierzchołek ostrosłupa \(W\)
- środek podstawy \(S\)
- środek krawędzi podstawy \(M\)

otrzymujemy trójkąt prostokątny \(WSM\), gdzie:
- \(WS = h\) (wysokość ostrosłupa)
- \(SM = \frac{a\sqrt{3}}{6}\) (odległość od środka do środka boku)
- kąt \(\alpha\) przy wierzchołku \(M\) to szukany kąt nachylenia ściany

**Krok 6: Obliczenie kąta**

$$\tan \alpha = \frac{WS}{SM} = \frac{h}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \frac{6h}{a\sqrt{3}}$$

Podstawiamy \(a = 2h\):

$$\tan \alpha = \frac{6h}{2h\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$

**Krok 7: Wyznaczenie kąta**

$$\tan \alpha = \sqrt{3}$$

$$\alpha = 60°$$

**Odpowiedź:** Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy wynosi \(60°\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(60^\circ \)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/107)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F107)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_