# Matematyka — zadanie 109

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/109
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

W stożku różnica długości tworzącej i promienia podstawy jest równa \(6\). Cosinus kąta \(\alpha \) między tworzącą a płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy \(\frac{2}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy:
- \(r\) - promień podstawy stożka
- \(l\) - długość tworzącej stożka
- \(\alpha\) - kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy

## Krok 1: Zapisanie danych z treści zadania

Z treści mamy:
$$l - r = 6$$

$$\cos \alpha = \frac{2}{5}$$

## Krok 2: Geometryczna interpretacja cosinusa

W trójkącie prostokątnym utworzonym przez:
- tworzącą \(l\) (przeciwprostokątna)
- promień podstawy \(r\) (przyprostokątna przy kącie \(\alpha\))
- wysokość stożka \(h\) (druga przyprostokątna)

zachodzi:
$$\cos \alpha = \frac{r}{l}$$

## Krok 3: Wyznaczenie zależności między \(r\) i \(l\)

Z warunku \(\cos \alpha = \frac{2}{5}\):
$$\frac{r}{l} = \frac{2}{5}$$

Stąd:
$$r = \frac{2l}{5}$$

## Krok 4: Obliczenie długości tworzącej

Podstawiamy \(r = \frac{2l}{5}\) do równania \(l - r = 6\):
$$l - \frac{2l}{5} = 6$$

$$\frac{5l - 2l}{5} = 6$$

$$\frac{3l}{5} = 6$$

$$l = 10$$

## Krok 5: Obliczenie promienia podstawy

$$r = \frac{2 \cdot 10}{5} = 4$$

## Krok 6: Obliczenie pola powierzchni bocznej

Wzór na pole powierzchni bocznej stożka:
$$P_{\text{boczne}} = \pi r l$$

Podstawiamy \(r = 4\) i \(l = 10\):
$$P_{\text{boczne}} = \pi \cdot 4 \cdot 10 = 40\pi$$

**Odpowiedź: \(40\pi\)**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(40\pi \)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/109)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F109)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_