# Matematyka — zadanie 11

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/11
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Procenty

## Treść

W pewnej szkole przez trzy kolejne lata zmieniała się liczba uczniów. W pierwszym roku liczba uczniów zmalała i na koniec roku była o \(10\%\) mniejsza niż na początku. W drugim roku wzrosła i ukończyło go \(20\%\) więcej uczniów niż pierwszy. O ile procent, w stosunku do liczby uczniów kończących drugi rok, zmniejszyła się ich liczba w następnym roku, jeśli na koniec trzeciego roku było tyle samo uczniów co na początku pierwszego? Wynik zaokrąglij do \(0{,}1\%\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy liczbę uczniów na początku pierwszego roku jako \(x\).

## Rok pierwszy

Na koniec pierwszego roku liczba uczniów zmalała o 10%, więc:
$$\text{Koniec 1. roku} = x - 0{,}1x = 0{,}9x$$

## Rok drugi

W drugim roku liczba uczniów wzrosła o 20% w stosunku do stanu na koniec pierwszego roku:
$$\text{Koniec 2. roku} = 0{,}9x + 0{,}2 \cdot 0{,}9x = 0{,}9x \cdot 1{,}2 = 1{,}08x$$

## Rok trzeci

Wiemy, że na koniec trzeciego roku liczba uczniów wynosi \(x\) (tyle samo co na początku pierwszego roku).

Niech \(p\%\) oznacza procent, o który zmniejszyła się liczba uczniów w trzecim roku (w stosunku do liczby na końcu drugiego roku).

Zmniejszenie o \(p\%\) oznacza pomnożenie przez \(\left(1 - \frac{p}{100}\right)\):
$$1{,}08x \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = x$$

## Rozwiązanie równania

$$1 - \frac{p}{100} = \frac{x}{1{,}08x} = \frac{1}{1{,}08}$$

$$\frac{p}{100} = 1 - \frac{1}{1{,}08}$$

$$\frac{p}{100} = \frac{1{,}08 - 1}{1{,}08} = \frac{0{,}08}{1{,}08}$$

$$p = \frac{0{,}08}{1{,}08} \cdot 100 = \frac{8}{1{,}08} = \frac{800}{108} = \frac{200}{27}$$

$$p = 7{,}407...$$

Po zaokrągleniu do \(0{,}1\%\):

$$p \approx 7{,}4\%$$

**Odpowiedź: Liczba uczniów zmniejszyła się w trzecim roku o 7,4%**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(7{,}4\%\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/11)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F11)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/12) — Autobus nazywamy przepełnionym, jeżeli w pewnym momencie znajduje się w nim co najmniej \(50\) pasażerów. Dwóch inspektorów monitoruje liczbę pasażerów w tych s
- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/24) — Do napełniania basenu służą dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajność o \(20\%\) większą niż druga. Napełnienie pustego basenu tylko drugą pompą trwa o \(1\) god
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2020-kwiecien-probna-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-4) Punkt jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołek A leży na osi Ox, a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Pro
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-4) Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek je

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_