# Matematyka — zadanie 111

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/111
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Dana jest prosta o równaniu \(y=-\frac{1}{2}x+b\), gdzie \(b\gt 0\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \(A\), zaś oś \(Ox\) w punkcie \(B\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(AOB\) wyznaczonego przez tę prostą i osie układu współrzędnych jest równe 1\(\)6. Oblicz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie \(AOB\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Wyznacza się współrzędne punktów przecięcia prostej z osiami, następnie wykorzystuje pole trójkąta do wyznaczenia parametru \(b\), a na końcu wyznacza środek okręgu opisanego.

## Krok 1: Punkt przecięcia z osią \(Oy\)

Punkt \(A\) to przecięcie z osią \(Oy\), więc \(x = 0\):
$$y = -\frac{1}{2} \cdot 0 + b = b$$

Zatem \(A = (0, b)\), gdzie \(b > 0\).

## Krok 2: Punkt przecięcia z osią \(Ox\)

Punkt \(B\) to przecięcie z osią \(Ox\), więc \(y = 0\):
$$0 = -\frac{1}{2}x + b$$
$$\frac{1}{2}x = b$$
$$x = 2b$$

Zatem \(B = (2b, 0)\).

## Krok 3: Wyznaczenie parametru \(b\) z warunku na pole

Trójkąt \(AOB\) ma wierzchołki: \(O = (0, 0)\), \(A = (0, b)\), \(B = (2b, 0)\).

Jest to trójkąt prostokątny z kątem prostym w punkcie \(O\). Przyprostokątne mają długości:
- \(|OA| = b\)
- \(|OB| = 2b\)

Pole trójkąta:
$$P = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 2b = b^2$$

Z warunku \(P = 16\):
$$b^2 = 16$$
$$b = 4 \quad \text{(bo } b > 0\text{)}$$

## Krok 4: Współrzędne wierzchołków trójkąta

Po podstawieniu \(b = 4\):
- \(O = (0, 0)\)
- \(A = (0, 4)\)
- \(B = (8, 0)\)

## Krok 5: Środek okręgu opisanego

Dla trójkąta prostokątnego środek okręgu opisanego znajduje się w środku przeciwprostokątnej.

Przeciwprostokątną jest odcinek \(AB\). Środek odcinka \(AB\):
$$S = \left(\frac{0 + 8}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right) = (4, 2)$$

## Weryfikacja

Odległość od \(S = (4, 2)\) do każdego wierzchołka powinna być taka sama (promień):
- \(|SO| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
- \(|SA| = \sqrt{4^2 + (2-4)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
- \(|SB| = \sqrt{(4-8)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)

**Odpowiedź:** Środek okręgu opisanego ma współrzędne \((4, 2)\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \((4,2)\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/111)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F111)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_