# Matematyka — zadanie 113

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/113
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Trójkąt \(T\) jest podobny do trójkąta \(T_1\) w skali \(k=\frac{1}{6}\), a trójkąt \(T_2\) jest podobny do trójkąta \(T\) w skali \(k=3\). Pole trójkąta \(T_2\) jest równe \(24\). Trójkąt \(T_1\) ma pole równe

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy pola trójkątów odpowiednio jako \(P\), \(P_1\) i \(P_2\).

**Krok 1: Przypomnienie własności podobieństwa**

Gdy trójkąt jest podobny do drugiego w skali \(k\), to stosunek ich pól wynosi \(k^2\).

**Krok 2: Związek między \(T\) a \(T_1\)**

Trójkąt \(T\) jest podobny do \(T_1\) w skali \(k = \frac{1}{6}\), więc:

$$\frac{P}{P_1} = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}$$

Stąd:
$$P = \frac{1}{36} \cdot P_1$$

**Krok 3: Związek między \(T_2\) a \(T\)**

Trójkąt \(T_2\) jest podobny do \(T\) w skali \(k = 3\), więc:

$$\frac{P_2}{P} = 3^2 = 9$$

Stąd:
$$P_2 = 9P$$

**Krok 4: Obliczenie pola \(P\)**

Wiemy, że \(P_2 = 24\), więc:

$$24 = 9P$$

$$P = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$$

**Krok 5: Obliczenie pola \(P_1\)**

Z zależności \(P = \frac{1}{36} \cdot P_1\):

$$\frac{8}{3} = \frac{1}{36} \cdot P_1$$

$$P_1 = \frac{8}{3} \cdot 36 = \frac{8 \cdot 36}{3} = \frac{288}{3} = 96$$

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/113)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F113)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_