# Matematyka — zadanie 114

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/114
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Punkt \(A=(2,7)\) jest wierzchołkiem kwadratu \(ABCD\), a punkt \(S=(6,5)\) jest środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Bok tego kwadratu ma długość

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-114.png]

Wyznacza się długość boku kwadratu korzystając z własności środka okręgu opisanego.

**Krok 2: Własności kwadratu i okręgu opisanego**

Środek okręgu opisanego na kwadracie pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych kwadratu. Zatem punkt \(S\) jest środkiem kwadratu.

**Krok 3: Związek między bokiem a przekątną**

Jeśli bok kwadratu ma długość \(a\), to przekątna ma długość \(a\sqrt{2}\).

Odległość od środka kwadratu do wierzchołka równa się połowie przekątnej:
$$|AS| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

**Krok 4: Obliczenie odległości \(|AS|\)**

Wyznacza się odległość między punktami \(A=(2,7)\) i \(S=(6,5)\):

$$|AS| = \sqrt{(6-2)^2 + (5-7)^2}$$

$$|AS| = \sqrt{4^2 + (-2)^2}$$

$$|AS| = \sqrt{16 + 4}$$

$$|AS| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

**Krok 5: Wyznaczenie długości boku**

Z zależności:
$$\frac{a\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{5}$$

Mnoży się obie strony przez 2:
$$a\sqrt{2} = 4\sqrt{5}$$

Dzieli się przez \(\sqrt{2}\):
$$a = \frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{10}}{2} = 2\sqrt{10}$$

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/114)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F114)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_