# Matematyka — zadanie 115

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/115
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

W trójkącie prostokątnym \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(A\) jest prosty oraz \(\sin (\sphericalangle ABC)=\frac{1}{3}\). Oblicz \(\operatorname{tg} (\sphericalangle ABC)\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-115.png]

Dane są:
- trójkąt prostokątny ABC z kątem prostym przy wierzchołku A
- $$\sin(\angle ABC) = \frac{1}{3}$$

Szukamy: $$\operatorname{tg}(\angle ABC)$$

**Krok 2: Oznaczenie kąta**

Oznaczmy $$\alpha = \angle ABC$$

Wiemy, że $$\sin \alpha = \frac{1}{3}$$

**Krok 3: Znajdowanie cosinusa**

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Podstawiamy:
$$\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{1}{9} + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$

**Krok 4: Wyznaczenie cosinusa**

Ponieważ $$\alpha = \angle ABC$$ jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym, to $$\cos \alpha > 0$$, zatem:
$$\cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

**Krok 5: Obliczenie tangensa**

Korzystamy ze wzoru:
$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

Podstawiamy:
$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$

**Krok 6: Usunięcie niewymierności z mianownika**

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

**Odpowiedź:** $$\operatorname{tg}(\angle ABC) = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/115)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F115)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_