# Matematyka — zadanie 116

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/116
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Do okręgu o środku \(O\) poprowadzono z zewnętrznego punktu \(P\) dwie styczne przecinające się w \(P\) pod kątem \(50^\circ \) (zobacz rysunek). Punktami styczności są, odpowiednio, punkty \(A\) i \(B\). Kąt \(AOB\) ma miarę

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozpatrzmy czworokąt \(PAOB\), w którym:
- punkt \(P\) to punkt przecięcia stycznych
- punkty \(A\) i \(B\) to punkty styczności
- punkt \(O\) to środek okręgu

**Krok 1: Własność stycznej do okręgu**

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

Zatem:
- \(OA \perp PA\), więc \(\angle OAP = 90°\)
- \(OB \perp PB\), więc \(\angle OBP = 90°\)

**Krok 2: Suma kątów w czworokącie**

Suma kątów w dowolnym czworokącie wynosi \(360°\).

W czworokącie \(PAOB\):

$$\angle APB + \angle OAP + \angle AOB + \angle OBP = 360°$$

**Krok 3: Podstawienie znanych wartości**

Z treści zadania wiemy, że \(\angle APB = 50°\).

Z kroku 1 wiemy, że \(\angle OAP = 90°\) i \(\angle OBP = 90°\).

Podstawiamy:

$$50° + 90° + \angle AOB + 90° = 360°$$

$$230° + \angle AOB = 360°$$

$$\angle AOB = 360° - 230° = 130°$$

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/116)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F116)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_