# Matematyka — zadanie 117

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/117
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Na płaszczyźnie dane są trzy punkty: \(A=(-1,1)\), \(B=(5,-3)\) oraz \(C=(3,2)\). Wyznacz równanie środkowej poprowadzonej do boku \(AB\) w trójkącie \(ABC\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek z środkiem przeciwległego boku.

Środkowa do boku \(AB\) jest poprowadzona z wierzchołka \(C\) do środka boku \(AB\).

**Krok 1: Wyznaczenie środka boku \(AB\)**

Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne:
$$S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

Podstawiając \(A=(-1,1)\) i \(B=(5,-3)\):
$$S = \left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{1 + (-3)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (2, -1)$$

**Krok 2: Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez \(C\) i \(S\)**

Prosta przechodzi przez punkty \(C=(3,2)\) i \(S=(2,-1)\).

Współczynnik kierunkowy:
$$a = \frac{y_S - y_C}{x_S - x_C} = \frac{-1 - 2}{2 - 3} = \frac{-3}{-1} = 3$$

**Krok 3: Wyznaczenie wyrazu wolnego**

Używamy równania prostej \(y = ax + b\) i podstawiamy punkt \(C=(3,2)\):
$$2 = 3 \cdot 3 + b$$
$$2 = 9 + b$$
$$b = -7$$

**Odpowiedź:**

Równanie środkowej poprowadzonej do boku \(AB\) to:
$$y = 3x - 7$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(y=3x-7\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/117)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F117)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_