# Matematyka — zadanie 119

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/119
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Niech prosta \(k\) będzie dana równaniem \(y=2x+1\). Uzasadnij, że jej obrazem w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta do niej równoległa.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozważamy prostą \(k: y = 2x + 1\).

## Krok 1: Wzór na symetrię środkową względem początku układu

Symetria środkowa \(S_O\) względem punktu \(O(0,0)\) przekształca punkt \(P(x, y)\) na punkt \(P'(x', y')\) według wzoru:
$$x' = -x, \quad y' = -y$$

## Krok 2: Znajdźmy równanie obrazu prostej \(k\)

Niech punkt \(P(x, y)\) leży na prostej \(k\), czyli spełnia \(y = 2x + 1\).

Jego obraz \(P'(x', y')\) w symetrii \(S_O\) ma współrzędne:
$$x' = -x, \quad y' = -y$$

Z tego wynika:
$$x = -x', \quad y = -y'$$

## Krok 3: Podstawmy do równania prostej \(k\)

Ponieważ punkt \(P(x, y)\) należy do \(k\), to:
$$y = 2x + 1$$

Podstawiając \(x = -x'\) i \(y = -y'\):
$$-y' = 2(-x') + 1$$
$$-y' = -2x' + 1$$

Mnożymy obie strony przez \(-1\):
$$y' = 2x' - 1$$

## Krok 4: Równanie obrazu prostej

Obraz prostej \(k\) w symetrii \(S_O\) ma równanie:
$$y = 2x - 1$$

(pomijamy prim dla uproszczenia zapisu)

## Krok 5: Uzasadnienie równoległości

Prosta \(k\): \(y = 2x + 1\) ma **współczynnik kierunkowy** \(a_k = 2\)

Obraz prostej \(k'\): \(y = 2x - 1\) ma **współczynnik kierunkowy** \(a_{k'} = 2\)

Ponieważ \(a_k = a_{k'} = 2\) i proste mają różne wyrazy wolne (\(1 \neq -1\)), to:

**Proste są równoległe (i różne).**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że obraz prostej jest do niej równoległy

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/119)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F119)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_