# Matematyka — zadanie 12

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/12
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Procenty

## Treść

Autobus nazywamy przepełnionym, jeżeli w pewnym momencie znajduje się w nim co najmniej \(50\) pasażerów. Dwóch inspektorów monitoruje liczbę pasażerów w tych samych dziesięciu autobusach. Jeden z nich obliczył, jaki procent wszystkich autobusów stanowią autobusy przepełnione, a drugi - jaki procent wszystkich pasażerów w \(10\) autobusach stanowili pasażerowie podróżujący przepełnionymi pojazdami. Wiadomo, że liczba autobusów przepełnionych należy do zbioru \(\{1,2,...,9\}\). Który z inspektorów otrzymał większą liczbę?

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczymy:
- $$k$$ - liczba autobusów przepełnionych, gdzie $$k \in \{1, 2, ..., 9\}$$
- $$10 - k$$ - liczba autobusów nieprzepełnionych

## Inspektor pierwszy

Oblicza procent autobusów przepełnionych:
$$P_1 = \frac{k}{10} \cdot 100\% = 10k\%$$

## Inspektor drugi

Oblicza procent pasażerów w autobusach przepełnionych.

Oznaczmy:
- $$n_i$$ - liczba pasażerów w $$i$$-tym autobusie przepełnionym ($$n_i \geq 50$$)
- $$m_j$$ - liczba pasażerów w $$j$$-tym autobusie nieprzepełnionym ($$m_j  P_1$$ jest równoważny:
$$\frac{S}{S+T} > \frac{k}{10}$$

Przekształcamy:
$$10S > k(S+T)$$
$$10S > kS + kT$$
$$10S - kS > kT$$
$$S(10-k) > kT$$
$$\frac{S}{k} > \frac{T}{10-k}$$

## Interpretacja

Lewa strona $$\frac{S}{k}$$ to **średnia liczba pasażerów w autobusie przepełnionym**.

Prawa strona $$\frac{T}{10-k}$$ to **średnia liczba pasażerów w autobusie nieprzepełnionym**.

## Analiza nierówności

**W autobusach przepełnionych:** każdy ma co najmniej 50 pasażerów, więc:
$$\frac{S}{k} \geq 50$$

**W autobusach nieprzepełnionych:** każdy ma mniej niż 50 pasażerów, więc:
$$\frac{T}{10-k}  \frac{T}{10-k}$$

nierówność $$\frac{S}{k} > \frac{T}{10-k}$$ jest **zawsze spełniona** dla $$k \in \{1, 2, ..., 9\}$$.

Zatem $$P_2 > P_1$$, co oznacza, że **drugi inspektor otrzymał większą liczbę**.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** drugi inspektor

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/12)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F12)

## Podobne zadania

- [Zadanie 24](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/24) — Do napełniania basenu służą dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajność o \(20\%\) większą niż druga. Napełnienie pustego basenu tylko drugą pompą trwa o \(1\) god
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2020-kwiecien-probna-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-4) Punkt jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołek A leży na osi Ox, a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Pro
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-4) Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek je
- [Zadanie 62](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/62) — Kacper przez \(5\) dni zapisywał swoje wydatki. Zauważył, że każdego dnia wydatki były niższe o \(20\%\) w stosunku do wydatków poprzedniego dnia. Oblicz kwotę,

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_