# Matematyka — zadanie 120

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/120
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Prawdopodobieństwo

## Treść

W pojemniku jest \(10\) kul, w tym \(b\) kul białych i \(10-b\) kul czarnych, gdzie \(b\ne 5\). Z tego pojemnika losujemy dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem. Wykaż, że prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy dwie kule tego samego koloru, jest większe od \(\frac{1}{2}\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy liczbę kul białych jako \(b\), a liczbę kul czarnych jako \(10-b\), gdzie \(b \in \{0, 1, 2, \ldots, 10\}\) i \(b \neq 5\).

**Krok 1: Prawdopodobieństwa wylosowania poszczególnych kolorów**

Przy jednym losowaniu:
- prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej: \(P(B) = \frac{b}{10}\)
- prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej: \(P(C) = \frac{10-b}{10}\)

**Krok 2: Prawdopodobieństwo zdarzenia "dwie kule tego samego koloru"**

Zdarzenie to zachodzi, gdy:
- wylosujemy dwie białe kule, lub
- wylosujemy dwie czarne kule

Ponieważ losujemy ze zwracaniem, losowania są niezależne:

$$P(\text{ten sam kolor}) = P(BB) + P(CC)$$

$$P(\text{ten sam kolor}) = P(B) \cdot P(B) + P(C) \cdot P(C)$$

$$P(\text{ten sam kolor}) = \left(\frac{b}{10}\right)^2 + \left(\frac{10-b}{10}\right)^2$$

**Krok 3: Przekształcenie wyrażenia**

$$P(\text{ten sam kolor}) = \frac{b^2 + (10-b)^2}{100}$$

Rozwijamy \((10-b)^2\):

$$P(\text{ten sam kolor}) = \frac{b^2 + 100 - 20b + b^2}{100} = \frac{2b^2 - 20b + 100}{100}$$

**Krok 4: Wykazanie nierówności**

Musimy pokazać, że \(\frac{2b^2 - 20b + 100}{100} > \frac{1}{2}\)

$$2b^2 - 20b + 100 > 50$$

$$2b^2 - 20b + 50 > 0$$

$$b^2 - 10b + 25 > 0$$

$$(b-5)^2 > 0$$

**Krok 5: Wnioskowanie**

Nierówność \((b-5)^2 > 0\) jest prawdziwa dla wszystkich \(b \neq 5\).

Ponieważ z założenia zadania \(b \neq 5\), nierówność jest spełniona, co oznacza, że:

$$P(\text{ten sam kolor}) > \frac{1}{2}$$

Co należało wykazać. ∎

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że prawdopodobieństwo jest większe od \(\frac{1}{2}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/120)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F120)

## Podobne zadania

- [Zadanie 96](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/96) — Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co naj
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/6) — Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\), \(\mathcal{P}_3\). Stosunek liczby bochenków chleba d
- [Zadanie 76](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/76) — Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana lic
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) W pudełku umieszczono 𝑛 kul (𝑛≥3) wśród których dokładnie 2 kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i od

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_