# Matematyka — zadanie 121

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/121
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Statystyka, odchylenie standardowe

## Treść

Wykonano pomiary wysokości czterech krzeseł i każde dwa rezultaty były różne. Adam zapisał wyniki w metrach i odchylenie standardowe jego danych było równe \(\sigma _A\). Bogdan zapisał te wyniki w centymetrach i odchylenie standardowe jego danych było równe \(\sigma _B\). Wynika stąd, że

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy wyniki pomiarów Adama (w metrach) jako: \(x_1, x_2, x_3, x_4\).

**Krok 1: Pomiary Adama**

Odchylenie standardowe danych Adama:
$$\sigma_A = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{4}(x_i - \bar{x})^2}$$

gdzie \(\bar{x}\) to średnia pomiarów w metrach.

**Krok 2: Pomiary Bogdana**

Bogdan zapisał te same wyniki w centymetrach. Ponieważ \(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\), jego pomiary to:
$$y_i = 100x_i \text{ dla } i = 1, 2, 3, 4$$

**Krok 3: Średnia pomiarów Bogdana**

$$\bar{y} = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}y_i = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}100x_i = 100 \cdot \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}x_i = 100\bar{x}$$

**Krok 4: Odchylenie standardowe Bogdana**

$$\sigma_B = \sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}(y_i - \bar{y})^2}$$

Podstawiamy \(y_i = 100x_i\) i \(\bar{y} = 100\bar{x}\):

$$\sigma_B = \sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}(100x_i - 100\bar{x})^2}$$

$$\sigma_B = \sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}100^2(x_i - \bar{x})^2}$$

$$\sigma_B = \sqrt{100^2 \cdot \frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}(x_i - \bar{x})^2}$$

$$\sigma_B = 100\sqrt{\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}(x_i - \bar{x})^2}$$

$$\sigma_B = 100\sigma_A$$

**Wniosek:**

Mnożąc wszystkie dane przez stałą \(c\), odchylenie standardowe również mnoży się przez \(|c|\). Zatem:

$$100\sigma_A = \sigma_B$$

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/121)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F121)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-2) W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic: w I donic
- [Zadanie 28](https://matura.lol/question/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/28) — Zadanie 28. (2 pkt) Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III. Oceny 6 5 4 3 2 1 Liczba uczniów 1 2 6 5 9 2 Oblicz średnią aryt
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/23) — W zestawie \(\underbrace{2,2,2,...,2}_{m \text{ liczb}}, \underbrace{4,4,4,...,4}_{m \text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb \((m\ge1)\), w tym \(m\) liczb \(2\) i \
- [Zadanie 124](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/124) — Zestaw danych: \(x_1,x_2,x_3,...,x_n\) ma średnią arytmetyczną \(a\) i odchylenie standardowe \(s\). Wykaż, że zestaw danych: \(\frac{x_1-a}{s}, \frac{x_2-a}{s}

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_