# Matematyka — zadanie 122

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/122
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Liczby rzeczywiste

## Treść

Dany jest zbiór \(A=\{1,2,...,2n,2n+1\}\), gdzie \(n\ge 1\), złożony z \(2n+1\) kolejnych liczb naturalnych. Wykaż, że liczba wszystkich par \((a,b)\) takich, że \(a\in A\), \(b\in A\) i \(a\ne b\) oraz suma \(a+b\) jest nieparzysta, jest większa od liczby par, których suma jest parzysta.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy przez $N$ liczbę par o sumie nieparzystej, a przez $P$ liczbę par o sumie parzystej.

## Krok 1: Analiza parzystości elementów zbioru $A$

Zbiór $A = \{1, 2, 3, ..., 2n, 2n+1\}$ zawiera $2n+1$ kolejnych liczb naturalnych.

Liczby nieparzyste w $A$: $1, 3, 5, ..., 2n+1$ - jest ich $n+1$

Liczby parzyste w $A$: $2, 4, 6, ..., 2n$ - jest ich $n$

## Krok 2: Warunki na parzystość sumy

Suma $a+b$ jest nieparzysta $\Leftrightarrow$ jedna z liczb jest parzysta, a druga nieparzysta

Suma $a+b$ jest parzysta $\Leftrightarrow$ obie liczby są parzyste lub obie są nieparzyste

## Krok 3: Obliczenie liczby par o sumie nieparzystej

Aby suma była nieparzysta, musimy wybrać:
- jedną liczbę nieparzystą (spośród $n+1$ liczb) oraz
- jedną liczbę parzystą (spośród $n$ liczb)

Ponieważ pary są uporządkowane $(a,b)$ z warunkiem $a \neq b$:

$$N = (n+1) \cdot n + n \cdot (n+1) = 2n(n+1)$$

## Krok 4: Obliczenie liczby par o sumie parzystej

**Przypadek 1:** Obie liczby nieparzyste

Wybieramy 2 różne liczby z $n+1$ nieparzystych, z uwzględnieniem kolejności:
$$P_1 = (n+1) \cdot n$$

**Przypadek 2:** Obie liczby parzyste

Wybieramy 2 różne liczby z $n$ parzystych, z uwzględnieniem kolejności:
$$P_2 = n \cdot (n-1)$$

Zatem:
$$P = (n+1)n + n(n-1) = n(n+1+n-1) = n \cdot 2n = 2n^2$$

## Krok 5: Porównanie $N$ i $P$

Musimy wykazać, że $N > P$:

$$N - P = 2n(n+1) - 2n^2 = 2n^2 + 2n - 2n^2 = 2n$$

Ponieważ $n \geq 1$, to:
$$N - P = 2n \geq 2 > 0$$

Zatem $N > P$, co kończy dowód.

## Podsumowanie

Liczba par o sumie nieparzystej ($N = 2n(n+1)$) jest większa od liczby par o sumie parzystej ($P = 2n^2$) o dokładnie $2n$, co wynika z tego, że w zbiorze $A$ jest o jedną więcej liczb nieparzystych niż parzystych.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że par o sumie nieparzystej jest więcej

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/122)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F122)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (7 pkt) Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że 3 3 7 2 5 7 2 5 jest liczbą całkowitą. 10 Arkusz II Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że na
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-listopad-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (6 pkt) Dane są zbiory: { } : 5 3 A x R x ∈ ≥ , { } 2 : 9 0 B x R x ∈ ≥ i 1 : 1 1 x C x R x ⎧ ⎫ ∈ ≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ a) Zaznacz na osi liczbowej zbiory B A, 
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/34) — Wykwalifikowany robotnik pracując sam, wykonałby pracę w czasie krótszym o \(10\) dni od pracownika niewykwalifikowanego. Aby pracę wykonać szybciej, powierzono
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (5 pkt) Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_