# Matematyka — zadanie 124

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/124
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Statystyka, średnia arytmetyczna, odchylenie standardowe

## Treść

Zestaw danych: \(x_1,x_2,x_3,...,x_n\) ma średnią arytmetyczną \(a\) i odchylenie standardowe \(s\). Wykaż, że zestaw danych: \(\frac{x_1-a}{s}, \frac{x_2-a}{s}, \frac{x_3-a}{s},...,\frac{x_n-a}{s}\) ma średnią arytmetyczną \(0\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy nowy zestaw danych jako \(y_1, y_2, y_3, ..., y_n\), gdzie:

$$y_i = \frac{x_i - a}{s} \text{ dla } i = 1, 2, 3, ..., n$$

**Obliczenie średniej arytmetycznej nowego zestawu:**

Średnia arytmetyczna zestawu \(y_1, y_2, ..., y_n\) wynosi:

$$\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i - a}{s}$$

**Wykorzystanie własności sumy:**

$$\bar{y} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{s} \sum_{i=1}^{n} (x_i - a)$$

$$\bar{y} = \frac{1}{ns} \sum_{i=1}^{n} (x_i - a)$$

**Rozwinięcie sumy:**

$$\bar{y} = \frac{1}{ns} \left(\sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} a\right)$$

$$\bar{y} = \frac{1}{ns} \left(\sum_{i=1}^{n} x_i - na\right)$$

**Wykorzystanie definicji średniej arytmetycznej:**

Z definicji wiemy, że \(a = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\), czyli:

$$\sum_{i=1}^{n} x_i = na$$

**Podstawienie:**

$$\bar{y} = \frac{1}{ns}(na - na) = \frac{1}{ns} \cdot 0 = 0$$

**Wniosek:**

Średnia arytmetyczna zestawu danych \(\frac{x_1-a}{s}, \frac{x_2-a}{s}, ..., \frac{x_n-a}{s}\) wynosi \(0\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że średnia arytmetyczna jest równa \(0\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/124)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F124)

## Podobne zadania

- [Zadanie 28](https://matura.lol/question/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/28) — Zadanie 28. (2 pkt) Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III. Oceny 6 5 4 3 2 1 Liczba uczniów 1 2 6 5 9 2 Oblicz średnią aryt
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (5 pkt) Kostka masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski ma nominalną masę 20 dag. W czasie kontroli zakładu zważono 150 losowo wybranych ko
- [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-3) W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki. Liczba
- [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-3) W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku. Wszy

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_