# Matematyka — zadanie 125

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/125
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Statystyka, odchylenie standardowe

## Treść

Adam otrzymał z trzech kolejnych klasówek następujące oceny: \(6\), \(4\), \(4\). Oblicz, jaką ocenę otrzymał Adam z czwartej klasówki, jeżeli odchylenie standardowe otrzymanych ocen jest równe \(\sqrt{\frac{11}{16}}\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy ocenę z czwartej klasówki jako \(x\).

**Krok 1: Wypisanie danych**

Oceny: \(6, 4, 4, x\)

Odchylenie standardowe: \(\sigma = \sqrt{\frac{11}{16}}\)

**Krok 2: Obliczenie średniej arytmetycznej**

$$\bar{x} = \frac{6 + 4 + 4 + x}{4} = \frac{14 + x}{4}$$

**Krok 3: Wzór na odchylenie standardowe**

Odchylenie standardowe obliczamy ze wzoru:

$$\sigma = \sqrt{\frac{(6-\bar{x})^2 + (4-\bar{x})^2 + (4-\bar{x})^2 + (x-\bar{x})^2}{4}}$$

**Krok 4: Podstawienie do wzoru**

$$\sqrt{\frac{11}{16}} = \sqrt{\frac{(6-\bar{x})^2 + 2(4-\bar{x})^2 + (x-\bar{x})^2}{4}}$$

Podnosimy obie strony do kwadratu:

$$\frac{11}{16} = \frac{(6-\bar{x})^2 + 2(4-\bar{x})^2 + (x-\bar{x})^2}{4}$$

$$\frac{11}{4} = (6-\bar{x})^2 + 2(4-\bar{x})^2 + (x-\bar{x})^2$$

**Krok 5: Podstawienie \(\bar{x} = \frac{14+x}{4}\)**

Wyrażamy odchylenia od średniej:

- \(6 - \bar{x} = 6 - \frac{14+x}{4} = \frac{24-14-x}{4} = \frac{10-x}{4}\)
- \(4 - \bar{x} = 4 - \frac{14+x}{4} = \frac{16-14-x}{4} = \frac{2-x}{4}\)
- \(x - \bar{x} = x - \frac{14+x}{4} = \frac{4x-14-x}{4} = \frac{3x-14}{4}\)

**Krok 6: Podstawienie do równania**

$$\frac{11}{4} = \left(\frac{10-x}{4}\right)^2 + 2\left(\frac{2-x}{4}\right)^2 + \left(\frac{3x-14}{4}\right)^2$$

$$\frac{11}{4} = \frac{(10-x)^2 + 2(2-x)^2 + (3x-14)^2}{16}$$

$$44 = (10-x)^2 + 2(2-x)^2 + (3x-14)^2$$

**Krok 7: Rozwinięcie kwadratów**

- \((10-x)^2 = 100 - 20x + x^2\)
- \((2-x)^2 = 4 - 4x + x^2\)
- \((3x-14)^2 = 9x^2 - 84x + 196\)

$$44 = 100 - 20x + x^2 + 2(4 - 4x + x^2) + 9x^2 - 84x + 196$$

$$44 = 100 - 20x + x^2 + 8 - 8x + 2x^2 + 9x^2 - 84x + 196$$

$$44 = 12x^2 - 112x + 304$$

**Krok 8: Rozwiązanie równania kwadratowego**

$$12x^2 - 112x + 260 = 0$$

$$3x^2 - 28x + 65 = 0$$

$$\Delta = 784 - 780 = 4$$

$$x = \frac{28 \pm 2}{6}$$

$$x = 5 \quad \text{lub} \quad x = \frac{13}{3}$$

Ponieważ oceny są liczbami naturalnymi (w skali 1-6), wybieramy \(x = 5\).

**Odpowiedź: 5**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(5\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/125)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F125)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (0-2) W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic: w I donic
- [Zadanie 28](https://matura.lol/question/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/28) — Zadanie 28. (2 pkt) Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III. Oceny 6 5 4 3 2 1 Liczba uczniów 1 2 6 5 9 2 Oblicz średnią aryt
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/23) — W zestawie \(\underbrace{2,2,2,...,2}_{m \text{ liczb}}, \underbrace{4,4,4,...,4}_{m \text{ liczb}}\) jest \(2m\) liczb \((m\ge1)\), w tym \(m\) liczb \(2\) i \
- [Zadanie 121](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/121) — Wykonano pomiary wysokości czterech krzeseł i każde dwa rezultaty były różne. Adam zapisał wyniki w metrach i odchylenie standardowe jego danych było równe \(\s

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_