# Matematyka — zadanie 126

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/126
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Kombinatoryka

## Treść

Wszystkich par \((a,b)\) takich, że \(a\in \{1,2,3,4,5,6,7\}\) i \(b\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) oraz suma \(a+b\) jest podzielna przez \(3\), jest

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Trzeba znaleźć wszystkie pary \((a,b)\), gdzie \(a \in \{1,2,3,4,5,6,7\}\), \(b \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) oraz \(a+b \equiv 0 \pmod{3}\).

**Krok 1: Klasyfikacja liczb według reszt modulo 3**

Podzielę zbiory na klasy równoważności modulo 3:

Dla zbioru \(a\):
- Reszta 0: brak elementów
- Reszta 1: \(\{1, 4, 7\}\) - 3 elementy
- Reszta 2: \(\{2, 5\}\) - 2 elementy
- Reszta 0: \(\{3, 6\}\) - 2 elementy

Dla zbioru \(b\):
- Reszta 0: \(\{3, 6, 9\}\) - 3 elementy
- Reszta 1: \(\{1, 4, 7\}\) - 3 elementy
- Reszta 2: \(\{2, 5, 8\}\) - 3 elementy

**Krok 2: Warunek podzielności przez 3**

Suma \(a+b\) jest podzielna przez 3, gdy:
$$a + b \equiv 0 \pmod{3}$$

To zachodzi w trzech przypadkach:
- \(a \equiv 0 \pmod{3}\) i \(b \equiv 0 \pmod{3}\)
- \(a \equiv 1 \pmod{3}\) i \(b \equiv 2 \pmod{3}\)
- \(a \equiv 2 \pmod{3}\) i \(b \equiv 1 \pmod{3}\)

**Krok 3: Obliczenie liczby par**

**Przypadek 1:** \(a \equiv 0 \pmod{3}\) i \(b \equiv 0 \pmod{3}\)

Liczba par: \(2 \times 3 = 6\)

**Przypadek 2:** \(a \equiv 1 \pmod{3}\) i \(b \equiv 2 \pmod{3}\)

Liczba par: \(3 \times 3 = 9\)

**Przypadek 3:** \(a \equiv 2 \pmod{3}\) i \(b \equiv 1 \pmod{3}\)

Liczba par: \(2 \times 3 = 6\)

**Krok 4: Suma wszystkich par**

Łączna liczba par:
$$6 + 9 + 6 = 21$$

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/126)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F126)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (0-6) Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4. Odpowiedź:
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (4 pkt) Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie d
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-4) Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwi
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (4 pkt) Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszy

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_