# Matematyka — zadanie 129

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/129
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Kombinatoryka

## Treść

Ile jest wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych, w zapisie których każda cyfra jest inna, żadna nie jest zerem oraz jedną z cyfr jest dziewiątka?

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Trzeba znaleźć wszystkie trzycyfrowe liczby, gdzie:
- każda cyfra jest inna
- żadna cyfra nie jest zerem
- jedna z cyfr to dziewiątka

**Krok 1: Dostępne cyfry**

Cyfry do wykorzystania: \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) - czyli 9 cyfr.

**Krok 2: Podział na przypadki według pozycji dziewiątki**

Dziewiątka może być na trzech pozycjach:
- pozycja setek
- pozycja dziesiątek  
- pozycja jedności

**Przypadek 1: Dziewiątka na pozycji setek**

Liczba ma postać: \( 9ab \)

- Pierwsza cyfra: 9 (ustalona)
- Druga cyfra: wybieramy z pozostałych 8 cyfr \( \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \)
- Trzecia cyfra: wybieramy z pozostałych 7 cyfr (różna od 9 i od drugiej cyfry)

Liczba możliwości: \( 1 \cdot 8 \cdot 7 = 56 \)

**Przypadek 2: Dziewiątka na pozycji dziesiątek**

Liczba ma postać: \( a9b \)

- Pierwsza cyfra: wybieramy z 8 cyfr \( \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \)
- Druga cyfra: 9 (ustalona)
- Trzecia cyfra: wybieramy z pozostałych 7 cyfr (różna od 9 i od pierwszej cyfry)

Liczba możliwości: \( 8 \cdot 1 \cdot 7 = 56 \)

**Przypadek 3: Dziewiątka na pozycji jedności**

Liczba ma postać: \( ab9 \)

- Pierwsza cyfra: wybieramy z 8 cyfr \( \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \)
- Druga cyfra: wybieramy z pozostałych 7 cyfr (różna od 9 i od pierwszej cyfry)
- Trzecia cyfra: 9 (ustalona)

Liczba możliwości: \( 8 \cdot 7 \cdot 1 = 56 \)

**Krok 3: Suma wszystkich przypadków**

$$56 + 56 + 56 = 168$$

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/129)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F129)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2015-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (0-6) Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4. Odpowiedź:
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (4 pkt) Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie d
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-4) Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwi
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (4 pkt) Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszy

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_