# Matematyka — zadanie 13

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/13
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Logarytmy

## Treść

Dane są liczby: \[\begin{split} &a=3\log_3 2-\log_3 16\\[6pt] &b=2\log_3 6-\log_3 18 \end{split}\] Wykaż, że \(a+b=0\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Przekształca się obie liczby $$a$$ i $$b$$ korzystając z własności logarytmów.

## Obliczenie wartości $$a$$

$$a = 3\log_3 2 - \log_3 16$$

Korzysta się z własności $$k\log_c x = \log_c x^k$$:

$$a = \log_3 2^3 - \log_3 16$$

$$a = \log_3 8 - \log_3 16$$

Stosuje się własność $$\log_c x - \log_c y = \log_c \frac{x}{y}$$:

$$a = \log_3 \frac{8}{16}$$

$$a = \log_3 \frac{1}{2}$$

Korzysta się z własności $$\log_c \frac{1}{x} = -\log_c x$$:

$$a = -\log_3 2$$

## Obliczenie wartości $$b$$

$$b = 2\log_3 6 - \log_3 18$$

Stosuje się własność $$k\log_c x = \log_c x^k$$:

$$b = \log_3 6^2 - \log_3 18$$

$$b = \log_3 36 - \log_3 18$$

Stosuje się własność $$\log_c x - \log_c y = \log_c \frac{x}{y}$$:

$$b = \log_3 \frac{36}{18}$$

$$b = \log_3 2$$

## Obliczenie sumy $$a + b$$

$$a + b = -\log_3 2 + \log_3 2 = 0$$

**Wniosek:** Wykazaliśmy, że $$a + b = 0$$.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że \(a+b=0\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/13)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F13)

## Podobne zadania

- [Zadanie 39](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/39) — Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę -
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Wykaż, że jeżeli log54 = 𝑎 oraz log43 = 𝑏, to log1280 = 2𝑎 + 1 𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) . Wypełnia egzaminator Nr zadania 5. 6. Maks. liczba pkt 2 3 Uzyskan
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-pokazowa-marzec-2022/zad/1) — Dane są liczby \(a = \log_2 3\) oraz \(b = \log_3 7\). **Wyraź \(\log_4 49\) za pomocą liczb \(a\) oraz \(b\).** Zapisz obliczenia.
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/1) — Dane są liczby rzeczywiste \(a\) oraz \(b\): \[a = 16^{\frac{1}{2} \cdot \log_4 36 - 2 \cdot \log_4 3}\] \[b = \log_2 9 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8\] Oblicz w

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_