# Matematyka — zadanie 131

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/131
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Ciągi

## Treść

Wszystkie losy loterii fantowej zostały ponumerowane kolejno od numeru \(10000\) do numeru \(99999\). Te losy, którym nadano numery o sumie cyfr równej trzy, są wygrywające, pozostałe losy są przegrywające. Na tej loterii będziemy losować jeden los. Oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu przegrywającego. Wynik przedstaw w postaci ułamka dziesiętnego w przybliżeniu do czwartego miejsca po przecinku.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

## Krok 1: Ustalenie liczby wszystkich losów

Losy są ponumerowane od \(10000\) do \(99999\).

Liczba wszystkich losów:
$$99999 - 10000 + 1 = 90000$$

## Krok 2: Znalezienie losów wygrywających

Los wygrywa, gdy suma jego cyfr wynosi 3.

Numery mają postać \(\overline{abcde}\), gdzie \(a \in \{1, 2, \ldots, 9\}\) (pierwsza cyfra nie może być 0), a \(b, c, d, e \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\}\).

Szukamy liczb pięciocyfrowych, gdzie:
$$a + b + c + d + e = 3$$

przy czym \(a \geq 1\).

## Krok 3: Wyliczenie możliwości

Ponieważ \(a \geq 1\) i suma wszystkich cyfr to 3, mamy następujące przypadki:

**Przypadek 1:** \(a = 1\), więc \(b + c + d + e = 2\)

Liczba nieujemnych całkowitych rozwiązań równania \(b + c + d + e = 2\):
$$\binom{2 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{5}{3} = 10$$

**Przypadek 2:** \(a = 2\), więc \(b + c + d + e = 1\)

Liczba rozwiązań:
$$\binom{1 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{4}{3} = 4$$

**Przypadek 3:** \(a = 3\), więc \(b + c + d + e = 0\)

Jedyne rozwiązanie: \(b = c = d = e = 0\), czyli 1 możliwość.

**Przypadek 4:** \(a \geq 4\)

Suma cyfr przekroczyłaby 3, więc brak rozwiązań.

## Krok 4: Suma losów wygrywających

$$10 + 4 + 1 = 15$$

## Krok 5: Liczba losów przegrywających

$$90000 - 15 = 89985$$

## Krok 6: Prawdopodobieństwo losu przegrywającego

$$P(\text{przegrywający}) = \frac{89985}{90000} = \frac{17997}{18000} = 0,99983\overline{3}$$

Zaokrąglając do czwartego miejsca po przecinku:

$$P(\text{przegrywający}) \approx 0{,}9998$$

**Odpowiedź:** \(0{,}9998\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(0{,}9998\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/131)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F131)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_