# Matematyka — zadanie 134

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/134
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 1
- działy: Prawdopodobieństwo

## Treść

Ze zbioru wszystkich krawędzi (krawędzi bocznych i krawędzi podstawy) ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego losujemy jedną krawędź, a następnie z pozostałych krawędzi losujemy drugą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane krawędzie będą miały wspólny wierzchołek.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-134.png]

## Krok 2: Określenie liczby krawędzi ostrosłupa

Ostrosłup prawidłowy pięciokątny ma:
- podstawę w kształcie pięciokąta foremnego: **5 krawędzi**
- krawędzie boczne łączące wierzchołki podstawy ze szczytem: **5 krawędzi**

Łącznie: **10 krawędzi**

## Krok 3: Liczba wszystkich możliwych par krawędzi

Losujemy pierwszą krawędź (10 możliwości), następnie drugą spośród pozostałych (9 możliwości).

Liczba wszystkich uporządkowanych par krawędzi:
$$|\Omega| = 10 \cdot 9 = 90$$

## Krok 4: Analiza struktury wierzchołków

Ostrosłup ma:
- 5 wierzchołków podstawy (oznaczmy je \(A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\))
- 1 wierzchołek w szczycie (oznaczmy \(S\))

Łącznie: **6 wierzchołków**

## Krok 5: Ile krawędzi wychodzi z każdego wierzchołka?

- Z każdego wierzchołka podstawy \(A_i\) wychodzą **3 krawędzie**: 2 krawędzie podstawy (do sąsiednich wierzchołków) i 1 krawędź boczna (do \(S\))
- Ze szczytu \(S\) wychodzi **5 krawędzi** (wszystkie krawędzie boczne)

## Krok 6: Liczenie par krawędzi ze wspólnym wierzchołkiem

Dla każdej wylosowanej pierwszej krawędzi zliczmy, ile krawędzi ma z nią wspólny wierzchołek:

**Przypadek 1:** Pierwsza krawędź jest krawędzią podstawy (5 takich krawędzi)

Przykład: krawędź \(A_1A_2\) ma końce w \(A_1\) i \(A_2\).
- Z wierzchołka \(A_1\) wychodzą 3 krawędzie (w tym \(A_1A_2\))
- Z wierzchołka \(A_2\) wychodzą 3 krawędzie (w tym \(A_1A_2\))
- Krawędzi ze wspólnym wierzchołkiem: \(3 + 3 - 1 = 5\) (odejmujemy 1, bo \(A_1A_2\) policzyliśmy dwukrotnie)

Liczba uporządkowanych par: \(5 \cdot 5 = 25\)

**Przypadek 2:** Pierwsza krawędź jest krawędzią boczną (5 takich krawędzi)

Przykład: krawędź \(SA_1\) ma końce w \(S\) i \(A_1\).
- Z wierzchołka \(S\) wychodzi 5 krawędzi (w tym \(SA_1\))
- Z wierzchołka \(A_1\) wychodzą 3 krawędzie (w tym \(SA_1\))
- Krawędzi ze wspólnym wierzchołkiem: \(5 + 3 - 1 = 7\)

Liczba uporządkowanych par: \(5 \cdot 7 = 35\)

## Krok 7: Obliczenie prawdopodobieństwa

Liczba par ze wspólnym wierzchołkiem:
$$|A| = 25 + 35 = 60$$

Prawdopodobieństwo:
$$P(A) = \frac{60}{90} = \frac{2}{3}$$

Ups, otrzymano \(\frac{2}{3}\), a nie \(\frac{5}{9}\). Sprawdza się ponownie...

## Korekta: Dokładniejsze zliczanie

Z każdego wierzchołka \(A_i\) podstawy, wybierając krawędź wychodzącą z \(A_i\), pozostaje **2 inne krawędzie** z tego wierzchołka (bo jedna jest już wybrana).

Dla krawędzi podstawy \(A_iA_{i+1}\):
- z \(A_i\): pozostają 2 krawędzie
- z \(A_{i+1}\): pozostają 2 krawędzie
- razem: \(2 + 2 = 4\) krawędzie ze wspólnym wierzchołkiem

Dla krawędzi bocznej \(SA_i\):
- z \(S\): pozostają 4 krawędzie
- z \(A_i\): pozostają 2 krawędzie  
- razem: \(4 + 2 = 6\) krawędzi

$$|A| = 5 \cdot 4 + 5 \cdot 6 = 20 + 30 = 50$$

$$P(A) = \frac{50}{90} = \frac{5}{9}$$

**Odpowiedź: \(\frac{5}{9}\)**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{5}{9}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/134)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F134)

## Podobne zadania

- [Zadanie 96](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/96) — Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co naj
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/6) — Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: \(\mathcal{P}_1\), \(\mathcal{P}_2\), \(\mathcal{P}_3\). Stosunek liczby bochenków chleba d
- [Zadanie 76](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/76) — Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana lic
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) W pudełku umieszczono 𝑛 kul (𝑛≥3) wśród których dokładnie 2 kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i od

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_