# Matematyka — zadanie 14

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/14
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Logarytmy

## Treść

Uzasadnij, że dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich \(x\) różnych od \(\frac{1}{3}\) wartość wyrażenia \[\log_{3x}\bigl(3x^2\bigl)+\log_{3x}\bigl(9x\bigl)\] jest większa od \(2\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Musimy pokazać, że dla \(x > 0\) i \(x \neq \frac{1}{3}\) zachodzi:
$$\log_{3x}(3x^2) + \log_{3x}(9x) > 2$$

**Krok 1: Uproszczenie wyrażenia**

Korzysta się z własności logarytmów \(\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)\):

$$\log_{3x}(3x^2) + \log_{3x}(9x) = \log_{3x}(3x^2 \cdot 9x)$$

**Krok 2: Obliczenie iloczynu**

$$3x^2 \cdot 9x = 27x^3$$

Więc:
$$\log_{3x}(27x^3)$$

**Krok 3: Rozkład argumentu**

$$27x^3 = 27 \cdot x^3 = 3^3 \cdot x^3 = (3x)^3$$

Zatem:
$$\log_{3x}((3x)^3) = 3$$

**Krok 4: Weryfikacja warunków**

Musimy sprawdzić, kiedy podstawa logarytmu \(3x\) jest poprawna:
- \(3x > 0\) - spełnione, bo \(x > 0\)
- \(3x \neq 1\) - czyli \(x \neq \frac{1}{3}\) - spełnione z założenia

**Krok 5: Porównanie z 2**

Otrzymaliśmy, że wartość wyrażenia wynosi dokładnie \(3\).

Ponieważ:
$$3 > 2$$

**Wniosek:**

Dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich \(x\) różnych od \(\frac{1}{3}\) wartość wyrażenia \(\log_{3x}(3x^2) + \log_{3x}(9x)\) jest równa \(3\), a zatem jest większa od \(2\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Wykazano, że wartość wyrażenia jest równa \(3\), czyli jest większa od \(2\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/14)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F14)

## Podobne zadania

- [Zadanie 39](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/39) — Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę -
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Wykaż, że jeżeli log54 = 𝑎 oraz log43 = 𝑏, to log1280 = 2𝑎 + 1 𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) . Wypełnia egzaminator Nr zadania 5. 6. Maks. liczba pkt 2 3 Uzyskan
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-pokazowa-marzec-2022/zad/1) — Dane są liczby \(a = \log_2 3\) oraz \(b = \log_3 7\). **Wyraź \(\log_4 49\) za pomocą liczb \(a\) oraz \(b\).** Zapisz obliczenia.
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/1) — Dane są liczby rzeczywiste \(a\) oraz \(b\): \[a = 16^{\frac{1}{2} \cdot \log_4 36 - 2 \cdot \log_4 3}\] \[b = \log_2 9 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8\] Oblicz w

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_