# Matematyka — zadanie 16

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/16
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Dany jest trójkąt \(ABC\), którego boki zawierają się w prostych o równaniach: \(y=\frac{1}{2}x+1\), \(y=7-x\) oraz \(y=0\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-16.png]

Aby obliczyć pole trójkąta, najpierw wyznacza się współrzędne jego wierzchołków, które są punktami przecięcia danych prostych.

## Krok 2: Oznaczenie prostych

- Prosta \(l_1: y = \frac{1}{2}x + 1\)
- Prosta \(l_2: y = 7 - x\)
- Prosta \(l_3: y = 0\) (oś OX)

## Krok 3: Znalezienie wierzchołka A (przecięcie \(l_1\) i \(l_2\))

Przyrównuje się równania:
$$\frac{1}{2}x + 1 = 7 - x$$

$$\frac{1}{2}x + x = 7 - 1$$

$$\frac{3}{2}x = 6$$

$$x = 4$$

Podstawia się do równania \(l_2\):
$$y = 7 - 4 = 3$$

Zatem \(A = (4, 3)\)

## Krok 4: Znalezienie wierzchołka B (przecięcie \(l_1\) i \(l_3\))

Podstawia się \(y = 0\) do równania \(l_1\):
$$0 = \frac{1}{2}x + 1$$

$$\frac{1}{2}x = -1$$

$$x = -2$$

Zatem \(B = (-2, 0)\)

## Krok 5: Znalezienie wierzchołka C (przecięcie \(l_2\) i \(l_3\))

Podstawia się \(y = 0\) do równania \(l_2\):
$$0 = 7 - x$$

$$x = 7$$

Zatem \(C = (7, 0)\)

## Krok 6: Obliczenie pola trójkąta

Korzysta się ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), \(C(x_3, y_3)\):

$$P = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

Podstawia się współrzędne \(A(4, 3)\), \(B(-2, 0)\), \(C(7, 0)\):

$$P = \frac{1}{2}|4(0 - 0) + (-2)(0 - 3) + 7(3 - 0)|$$

$$P = \frac{1}{2}|0 + (-2)(-3) + 7 \cdot 3|$$

$$P = \frac{1}{2}|0 + 6 + 21|$$

$$P = \frac{1}{2} \cdot 27 = \frac{27}{2}$$

**Odpowiedź:** Pole trójkąta \(ABC\) wynosi \(\frac{27}{2}\) (jednostek kwadratowych).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{27}{2}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/16)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F16)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_