# Matematyka — zadanie 17

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/17
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Układy równań

## Treść

Wyznacz takie liczby \(a\) i \(b\), dla których układ równań \(\begin{cases} 4x+y+2=0\\ax^2+y+b=0 \end{cases} \) jest sprzeczny, zaś układ równań \(\begin{cases} 4x+y-2=0\\b^2x+y+a=0 \end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozwiązuje się problem dla dwóch układów równań z warunkami na ich rozwiązalność.

## Analiza pierwszego układu (układ sprzeczny)

Układ:
$$\begin{cases} 4x+y+2=0\\ax^2+y+b=0 \end{cases}$$

Aby układ był **sprzeczny**, równania nie mogą mieć wspólnych rozwiązań.

Z pierwszego równania: \(y = -4x - 2\)

Podstawia się do drugiego równania:
$$ax^2 + (-4x - 2) + b = 0$$
$$ax^2 - 4x + (b - 2) = 0$$

Układ jest sprzeczny, gdy to równanie **nie ma rozwiązań**.

**Przypadek 1:** Jeśli \(a = 0\), otrzymuje się:
$$-4x + (b - 2) = 0$$

To równanie liniowe ma zawsze rozwiązanie (chyba że \(0 = b - 2\) i \(0 \neq 0\), co jest niemożliwe).

**Przypadek 2:** Jeśli \(a \neq 0\), równanie kwadratowe nie ma rozwiązań, gdy \(\Delta < 0\):
$$\Delta = 16 - 4a(b - 2) < 0$$
$$16 - 4ab + 8a < 0$$
$$4 + 2a - ab < 0$$

## Analiza drugiego układu (nieskończenie wiele rozwiązań)

Układ:
$$\begin{cases} 4x+y-2=0\\b^2x+y+a=0 \end{cases}$$

Aby układ miał **nieskończenie wiele rozwiązań**, oba równania muszą być identyczne (przedstawiać tę samą prostą).

Przepisuję równania w postaci \(y = ...\):
- Równanie 1: \(y = -4x + 2\)
- Równanie 2: \(y = -b^2x - a\)

Aby były identyczne:
$$-b^2 = -4 \quad \text{oraz} \quad -a = 2$$

Z pierwszego warunku:
$$b^2 = 4$$
$$b = 2 \quad \text{lub} \quad b = -2$$

Z drugiego warunku:
$$a = -2$$

## Weryfikacja warunku ze sprzeczności

Dane jest \(a = -2\). Sprawdza się warunek \(4 + 2a - ab < 0\):

**Dla \(b = 2\):**
$$4 + 2(-2) - (-2)(2) = 4 - 4 + 4 = 4 \not< 0$$
Warunek nie jest spełniony.

**Dla \(b = -2\):**
$$4 + 2(-2) - (-2)(-2) = 4 - 4 - 4 = -4 < 0$$
Warunek jest spełniony! ✓

## Odpowiedź

$$a = -2, \quad b = -2$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(a=-2\), \(b=-2\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/17)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F17)

## Podobne zadania

- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (7 pkt) Dany jest układ równań: 2 ⎧ ⎨+ ⎩ mx y x my m Dla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb ( ) x,y , która jest rozwiązaniem tego układu
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (5 pkt) Z dwóch miast A i B, odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jed
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (5 pkt) Dwie prostokątne działki rekreacyjne mają taką samą powierzchnię równą 2 310m . Długość drugiej działki jest o 4,8 m krótsza od długości pie
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (5 pkt) W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_