# Matematyka — zadanie 18

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/18
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Układy równań

## Treść

Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest para różnych dodatnich liczb całkowitych. Jednym z równań tego układu jest \(2x+y=6\). Wyznacz drugie równanie układu, wiedząc, że jest to równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Szukamy drugiego równania układu, które jest prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych.

## Krok 1: Forma drugiego równania

Prosta przechodząca przez początek ma postać:
$$y = ax$$
gdzie \(a\) jest współczynnikiem kierunkowym.

## Krok 2: Znajdowanie rozwiązania układu

Podstawiamy \(y = ax\) do równania \(2x + y = 6\):
$$2x + ax = 6$$
$$x(2 + a) = 6$$
$$x = \frac{6}{2 + a}$$

Następnie:
$$y = ax = a \cdot \frac{6}{2 + a} = \frac{6a}{2 + a}$$

## Krok 3: Warunki na rozwiązanie

Rozwiązanie to para **różnych dodatnich liczb całkowitych**, więc:
- \(x \in \mathbb{Z}_+\)
- \(y \in \mathbb{Z}_+\)
- \(x \neq y\)

Aby \(x = \frac{6}{2 + a}\) było dodatnią liczbą całkowitą, liczba \((2 + a)\) musi być dodatnim dzielnikiem 6.

Dzielniki 6: 1, 2, 3, 6

## Krok 4: Sprawdzenie możliwości

- Jeśli \(2 + a = 1\), to \(a = -1\), wtedy \(x = 6\), \(y = -6\) (nie jest dodatnie) ✗
- Jeśli \(2 + a = 2\), to \(a = 0\), wtedy \(x = 3\), \(y = 0\) (nie jest dodatnie) ✗
- Jeśli \(2 + a = 3\), to \(a = 1\), wtedy \(x = 2\), \(y = 2\) (nie są różne) ✗
- Jeśli \(2 + a = 6\), to \(a = 4\), wtedy \(x = 1\), \(y = 4\) ✓

## Krok 5: Weryfikacja

Dla \(a = 4\), równanie to \(y = 4x\).

Sprawdzamy rozwiązanie \((x, y) = (1, 4)\):
- \(2x + y = 2 \cdot 1 + 4 = 6\) ✓
- \(y = 4x\) czyli \(4 = 4 \cdot 1\) ✓
- Liczby 1 i 4 są różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi ✓

**Odpowiedź:** \(y = 4x\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(y=4x\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/18)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F18)

## Podobne zadania

- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (7 pkt) Dany jest układ równań: 2 ⎧ ⎨+ ⎩ mx y x my m Dla każdej wartości parametru m wyznacz parę liczb ( ) x,y , która jest rozwiązaniem tego układu
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2012-marzec-probna-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (5 pkt) Z dwóch miast A i B, odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jed
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2011-czerwiec-probna-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (5 pkt) Dwie prostokątne działki rekreacyjne mają taką samą powierzchnię równą 2 310m . Długość drugiej działki jest o 4,8 m krótsza od długości pie
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (5 pkt) W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_