# Matematyka — zadanie 20

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/20
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

W tabelce podano wartości funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\) dla wybranych trzech argumentów.

| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(6\) |
| --- | --- | --- | --- |
| \(f(x)\) | \(-2\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(-2\frac{1}{2}\) |

Rozwiąż nierówność \(f(x)\ge 0\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Zapisuje się dane z tabeli w postaci wygodnej do obliczeń:

$$f(0) = -2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$$
$$f(1) = 0$$
$$f(6) = -\frac{5}{2}$$

**Krok 1: Wyznaczenie współczynników funkcji**

Z warunku \(f(0) = -\frac{5}{2}\):
$$c = -\frac{5}{2}$$

Z warunku \(f(1) = 0\):
$$a + b + c = 0$$
$$a + b - \frac{5}{2} = 0$$
$$a + b = \frac{5}{2} \quad \text{...(1)}$$

Z warunku \(f(6) = -\frac{5}{2}\):
$$36a + 6b + c = -\frac{5}{2}$$
$$36a + 6b - \frac{5}{2} = -\frac{5}{2}$$
$$36a + 6b = 0$$
$$6a + b = 0$$
$$b = -6a \quad \text{...(2)}$$

**Krok 2: Rozwiązanie układu równań**

Podstawia się (2) do (1):
$$a + (-6a) = \frac{5}{2}$$
$$-5a = \frac{5}{2}$$
$$a = -\frac{1}{2}$$

Z równania (2):
$$b = -6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 3$$

**Krok 3: Postać funkcji**

$$f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{5}{2}$$

**Krok 4: Znajdowanie miejsc zerowych**

Wiemy już, że \(f(1) = 0\). Wyznacza się drugie miejsce zerowe:

$$-\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{5}{2} = 0$$

Mnoży się przez \(-2\):
$$x^2 - 6x + 5 = 0$$

Korzysta się ze wzorów Viète'a lub rozkłada:
$$(x-1)(x-5) = 0$$

Miejsca zerowe: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\)

**Krok 5: Analiza znaku funkcji**

Funkcja \(f(x) = -\frac{1}{2}(x-1)(x-5)\)

Współczynnik \(a = -\frac{1}{2} < 0\), więc parabola ma ramiona skierowane w dół.

Funkcja jest nieujemna (\(f(x) \geq 0\)) pomiędzy miejscami zerowymi (włącznie):

$$f(x) \geq 0 \quad \text{dla} \quad x \in \langle 1, 5 \rangle$$

**Odpowiedź:** \(x \in \langle 1, 5 \rangle\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(x\in \langle 1,5\rangle \)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/20)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F20)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_