# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci ogólnej, wiedząc, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \((-\infty ,-1\rangle \), a wartość \(-5\) osiąga ona dla dwóch argumentów: \(2\) i \(10\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Szukamy funkcji kwadratowej w postaci ogólnej \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

## Krok 1: Analiza zbioru wartości

Zbiór wartości to \((-\infty, -1]\), co oznacza:
- maksymalna wartość funkcji to \(-1\)
- funkcja przyjmuje wszystkie wartości mniejsze lub równe \(-1\)

Zatem ramiona paraboli są skierowane w dół, więc \(a < 0\), a wartość w wierzchołku wynosi:
$$y_w = -1$$

## Krok 2: Wyznaczenie osi symetrii

Funkcja przyjmuje wartość \(-5\) dla argumentów \(x_1 = 2\) i \(x_2 = 10\).

Punkty o tej samej wartości funkcji są symetryczne względem osi symetrii paraboli, więc:
$$p = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6$$

## Krok 3: Postać kanoniczna funkcji

Z wierzchołkiem \(W = (6, -1)\) postać kanoniczna to:
$$f(x) = a(x - 6)^2 - 1$$

## Krok 4: Wyznaczenie parametru \(a\)

Korzystamy z warunku \(f(2) = -5\):
$$a(2 - 6)^2 - 1 = -5$$
$$a \cdot 16 - 1 = -5$$
$$16a = -4$$
$$a = -\frac{1}{4}$$

## Krok 5: Przekształcenie do postaci ogólnej

$$f(x) = -\frac{1}{4}(x - 6)^2 - 1$$

$$f(x) = -\frac{1}{4}(x^2 - 12x + 36) - 1$$

$$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 3x - 9 - 1$$

$$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 3x - 10$$

## Sprawdzenie

Sprawdźmy \(f(10) = -5\):
$$f(10) = -\frac{1}{4} \cdot 100 + 3 \cdot 10 - 10 = -25 + 30 - 10 = -5 \,\checkmark$$

**Odpowiedź:** \(f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 3x - 10\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(f(x)=-\frac{1}{4}x^2+3x-10\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_