# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

Na rysunku są przedstawione fragmenty wykresów funkcji kwadratowych \(f\) i \(g\). Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x^2+6x-5\), a mniejsze z jej miejsc zerowych jest jednocześnie miejscem zerowym funkcji \(g\). Wierzchołek \(W\) paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), leży na wykresie funkcji \(g\), a wierzchołek \(Z\) paraboli będącej wykresem funkcji \(g\) leży na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Wyznacz wzór funkcji \(g\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

## Krok 1: Wyznacza się miejsca zerowe funkcji \(f\)

$$f(x) = -x^2 + 6x - 5 = 0$$

$$x^2 - 6x + 5 = 0$$

$$\Delta = 36 - 20 = 16$$

$$x_1 = \frac{6-4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6+4}{2} = 5$$

Mniejsze miejsce zerowe: \(x = 1\)

## Krok 2: Wyznacza się wierzchołek \(W\) paraboli funkcji \(f\)

$$p = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$$

$$q = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$$

Zatem \(W = (3, 4)\)

## Krok 3: Ustala się warunki dla funkcji \(g\)

Z treści zadania:
- Funkcja \(g\) ma miejsce zerowe w punkcie \(x = 1\)
- Punkt \(W = (3, 4)\) leży na wykresie funkcji \(g\)
- Wierzchołek \(Z\) paraboli funkcji \(g\) leży na osi \(Oy\), czyli \(Z = (0, z_0)\)

## Krok 4: Zapisuje się wzór funkcji \(g\) w postaci kanonicznej

Skoro wierzchołek leży na osi \(Oy\), to:

$$g(x) = a(x - 0)^2 + z_0 = ax^2 + z_0$$

## Krok 5: Wykorzystuje się warunek miejsca zerowego

$$g(1) = 0$$

$$a \cdot 1 + z_0 = 0$$

$$z_0 = -a$$

Zatem: \(g(x) = ax^2 - a = a(x^2 - 1)\)

## Krok 6: Wykorzystuje się warunek przejścia przez punkt \(W = (3, 4)\)

$$g(3) = 4$$

$$a(9 - 1) = 4$$

$$8a = 4$$

$$a = \frac{1}{2}$$

## Krok 7: Zapisuje się wzór funkcji \(g\)

$$g(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 1) = \frac{1}{2}(x-1)(x+1)$$

## Weryfikacja:
- \(g(1) = \frac{1}{2}(0)(2) = 0\) ✓
- \(g(3) = \frac{1}{2}(2)(4) = 4\) ✓
- Wierzchołek: \(Z = (0, -\frac{1}{2})\) leży na osi \(Oy\) ✓

**Odpowiedź:** \(g(x) = \frac{1}{2}(x-1)(x+1)\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(g(x)=\frac{1}{2}(x-1)(x+1)\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_