# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Funkcje

## Treść

Wyznacz wartość największą funkcji \(f(x)=\frac{1}{x^2+4x-1}\) w przedziale \(\langle 1,3\rangle \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Szukamy wartości największej funkcji \(f(x)=\frac{1}{x^2+4x-1}\) w przedziale \(\langle 1,3\rangle\).

## Krok 1: Analiza funkcji

Funkcja \(f(x)=\frac{1}{x^2+4x-1}\) jest ilorazem, gdzie licznik jest stały (równy 1). Wartość funkcji będzie największa, gdy mianownik \(g(x)=x^2+4x-1\) osiągnie wartość najmniejszą (przy założeniu, że mianownik jest dodatni).

## Krok 2: Badanie mianownika

Funkcja \(g(x)=x^2+4x-1\) jest parabolą o współczynniku przy \(x^2\) równym 1 > 0, więc ramiona paraboli skierowane są do góry.

Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie:
$$x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$$

Ponieważ \(x_w = -2 \notin \langle 1,3\rangle\), a parabola ma minimum w \(x=-2\) i rośnie dla \(x > -2\), to w przedziale \(\langle 1,3\rangle\) funkcja \(g(x)\) jest rosnąca.

## Krok 3: Wartości na krańcach przedziału

Skoro \(g(x)\) rośnie w przedziale \(\langle 1,3\rangle\), to:
- najmniejsza wartość \(g(x)\) występuje dla \(x=1\)
- największa wartość \(g(x)\) występuje dla \(x=3\)

Obliczamy wartości:

Dla \(x=1\):
$$g(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 - 1 = 1 + 4 - 1 = 4$$

Dla \(x=3\):
$$g(3) = 3^2 + 4 \cdot 3 - 1 = 9 + 12 - 1 = 20$$

## Krok 4: Wartości funkcji f(x)

Dla \(x=1\):
$$f(1) = \frac{1}{g(1)} = \frac{1}{4}$$

Dla \(x=3\):
$$f(3) = \frac{1}{g(3)} = \frac{1}{20}$$

## Krok 5: Porównanie wartości

Ponieważ \(\frac{1}{4} > \frac{1}{20}\), największa wartość funkcji \(f(x)\) w przedziale \(\langle 1,3\rangle\) wynosi:

$$\boxed{\frac{1}{4}}$$

i jest osiągana dla \(x=1\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\frac{1}{4}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (10 pkt) Funkcja h jest określona wzorem . Wyznacz wszystkie wartości parametru dla których równanie ma dwa różne pierwiastki. ) 5 ( log ) 4 ( log )
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18. a) Wykaż, że pole 𝑃 każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości 𝑏 rami
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne 𝐴𝐵𝐶 o przeciwprostokątnej 𝐴𝐵 i obwodzie równym 4. Niech 𝑥= |𝐴𝐶|. a) Wykaż, że pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji ( ) 1 2 + x x f oraz ( ) x x x g 1 Na podstawie wykonanego rysunku określ liczbę u

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_