# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

Wykres funkcji kwadratowej \(f\) przecina oś \(Ox\) w punktach \(x=1\) oraz \(x=3\) i przechodzi przez punkt \((0,-3)\). Wykres ten przesunięto i otrzymano wykres funkcji kwadratowej \(g(x)=f(x-p)\). Wierzchołek funkcji \(g\) leży na osi \(Oy\). Wyznacz wzór funkcji \(g\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Punktem wyjścia jest wyznaczenie wzoru funkcji \(f\).

## Krok 1: Wyznaczenie wzoru funkcji \(f\)

Ponieważ wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Ox\) w punktach \(x=1\) i \(x=3\), to:

$$f(x) = a(x-1)(x-3)$$

gdzie \(a \neq 0\).

## Krok 2: Wyznaczenie współczynnika \(a\)

Funkcja przechodzi przez punkt \((0,-3)\), więc \(f(0) = -3\):

$$f(0) = a(0-1)(0-3) = a \cdot (-1) \cdot (-3) = 3a$$

$$3a = -3$$

$$a = -1$$

Zatem:

$$f(x) = -(x-1)(x-3) = -(x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 4x - 3$$

## Krok 3: Wyznaczenie wierzchołka funkcji \(f\)

Przekształca się do postaci kanonicznej:

$$f(x) = -x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x) - 3 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3$$

$$f(x) = -(x-2)^2 + 4 - 3 = -(x-2)^2 + 1$$

Wierzchołek funkcji \(f\) to punkt \(W_f = (2, 1)\).

## Krok 4: Analiza przesunięcia

Funkcja \(g(x) = f(x-p)\) powstaje przez przesunięcie wykresu \(f\) o wektor \([p, 0]\).

Wierzchołek funkcji \(g\) to:

$$W_g = (2+p, 1)$$

## Krok 5: Warunek na wierzchołek funkcji \(g\)

Wierzchołek funkcji \(g\) leży na osi \(Oy\), więc jego pierwsza współrzędna wynosi 0:

$$2 + p = 0$$

$$p = -2$$

## Krok 6: Wyznaczenie wzoru funkcji \(g\)

$$g(x) = f(x-(-2)) = f(x+2)$$

Podstawia się do wzoru \(f\):

$$g(x) = f(x+2) = -((x+2)-2)^2 + 1 = -x^2 + 1$$

## Weryfikacja

- Wierzchołek \(g\): \(W_g = (0, 1)\) ✓ (leży na osi \(Oy\))
- \(g(x) = -x^2 + 1\) ✓

**Odpowiedź:** \(g(x) = -x^2 + 1\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(g(x)=-x^2+1\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_