# Matematyka — zadanie 35

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/35
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\), przechodzi przez punkt \((-2,10)\) oraz \(f(-1)=f(3)=0\). Oblicz odległość wierzchołka paraboli od początku układu współrzędnych.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Skoro \(f(-1) = f(3) = 0\), to liczby \(-1\) i \(3\) są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej.

## Krok 1: Postać iloczynowa funkcji

Funkcję kwadratową z miejscami zerowymi \(x_1 = -1\) i \(x_2 = 3\) zapisujemy w postaci iloczynowej:

$$f(x) = a(x + 1)(x - 3)$$

## Krok 2: Wyznaczenie współczynnika \(a\)

Wykorzystujemy warunek, że parabola przechodzi przez punkt \((-2, 10)\):

$$f(-2) = 10$$

$$a(-2 + 1)(-2 - 3) = 10$$

$$a \cdot (-1) \cdot (-5) = 10$$

$$5a = 10$$

$$a = 2$$

## Krok 3: Wzór funkcji

$$f(x) = 2(x + 1)(x - 3)$$

## Krok 4: Współrzędne wierzchołka

Dla funkcji kwadratowej z miejscami zerowymi \(x_1\) i \(x_2\), współrzędna \(x\) wierzchołka to:

$$x_w = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Współrzędna \(y\) wierzchołka:

$$y_w = f(1) = 2(1 + 1)(1 - 3) = 2 \cdot 2 \cdot (-2) = -8$$

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \(W = (1, -8)\).

## Krok 5: Odległość wierzchołka od początku układu

Odległość punktu \((1, -8)\) od punktu \((0, 0)\) obliczamy ze wzoru na odległość między dwoma punktami:

$$d = \sqrt{(1-0)^2 + (-8-0)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$$

**Odpowiedź:** \(\sqrt{65}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\sqrt{65}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/35)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F35)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_