# Matematyka — zadanie 36

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/36
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Zbiory zadań · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+4x+1\). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji, leży na prostej o równaniu \(y=-5\). Oblicz współrzędne tego wierzchołka.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Szukamy współrzędnych wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji \(f(x) = ax^2 + 4x + 1\).

## Krok 1: Przypomnienie wzorów na współrzędne wierzchołka

Dla funkcji kwadratowej \(f(x) = ax^2 + bx + c\) współrzędne wierzchołka \(W = (p, q)\) dane są wzorami:

$$p = -\frac{b}{2a}$$

$$q = -\frac{\Delta}{4a} \text{ gdzie } \Delta = b^2 - 4ac$$

## Krok 2: Identyfikacja współczynników

W naszej funkcji:
- \(a = a\) (niewiadoma)
- \(b = 4\)
- \(c = 1\)

## Krok 3: Wykorzystanie warunku o prostej \(y = -5\)

Wiemy, że wierzchołek leży na prostej \(y = -5\), więc \(q = -5\).

Obliczamy wyróżnik:

$$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = 16 - 4a$$

Zatem:

$$q = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{16-4a}{4a} = -5$$

## Krok 4: Rozwiązanie równania

$$-\frac{16-4a}{4a} = -5$$

$$\frac{16-4a}{4a} = 5$$

$$16 - 4a = 20a$$

$$16 = 24a$$

$$a = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$$

## Krok 5: Obliczenie współrzędnej \(p\)

$$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot \frac{2}{3}} = -\frac{4}{\frac{4}{3}} = -4 \cdot \frac{3}{4} = -3$$

## Krok 6: Sprawdzenie

Dla \(a = \frac{2}{3}\):

$$\Delta = 16 - 4 \cdot \frac{2}{3} = 16 - \frac{8}{3} = \frac{40}{3}$$

$$q = -\frac{\frac{40}{3}}{4 \cdot \frac{2}{3}} = -\frac{\frac{40}{3}}{\frac{8}{3}} = -\frac{40}{8} = -5$$ ✓

**Odpowiedź:** Współrzędne wierzchołka to \(W = (-3, -5)\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \((-3,-5)\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-cke-2015-2023-pp/zad/36)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-cke-2015-2023-pp%2Fzad%2F36)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_